By voorbeeld / For example
:
1 ─ a ─(─1
+ a)
verander die tekens in die negatiewe hakie
─ ───── = ───────
3 ─ b ─(─3
+ b)
change the signs inside the negative bracket.
Herrangskik. Teken voor breuk bly dieselfde - teller
a ─ 1
en noemer beide negatief en breuk dus positief.
= ─ ──────
b ─ 3
Rearrange. Sign in front of fraction remains the same -
numerator and denominator both negative and
fraction thus positive.
verander die tekens in die negatiewe hakie
1 ─ a ─(─1
+ a)
- teller; noemer positief geen verandering
─ ───── = ━ ───────
3 + b 3
+ b
change the signs inside the negative bracket -
numerator; denominator positive, do not change.
Herrangskik. Teken voor breuk verander -
teller negatief en noemer positief breuk
a ─ 1
dus negatief en teken voor breuk verander
= ╋ ──────
b + 3
Rearrange. Sign in front of fraction changes -
numerator negative and denominator positive
and fraction thus negative and sign changes.
2 ─ x
2 + x 1 ─ 6x
19. ────── ━ ───── ━ ───────
1 ─ 2x 1 + 2x 4x
2 ─ 1
─(─2 + x)
2 + x ─(─1 + 6x)
Verander die tekens
= ──────── ━ ───── ━ ─────────
─(─1 + 2x) 1 + 2x 4x
2 ─ 1
Change the signs
x ─ 2
x + 2 6x ─ 1
= ───── ━ ───── ┼ ──────
2x ─ 1 2x + 1 4x
2 ─ 1
x ─ 2
x + 2 6x ─ 1
= ───── ━ ───── ┼ ───────────
2x ─ 1 2x + 1 (2x ─ 1)(2x + 1)
(x ─ 2)(2x + 1) ─ (x + 2)(2x ─ 1) + 6x ─ 1
= ─────────────────────────────
(2x ─ 1)(2x + 1)
2x
2 ─ 3x ─ 2 ─ (2x
2 + 3x ─ 2) + 6x ─ 1
= ─────────────────────────────
(2x ─ 1)(2x + 1)
2x
2 ─ 3x ─ 2 ─ 2x
2 ─ 3x + 2 + 6x ─ 1
= ─────────────────────────────
(2x ─ 1)(2x + 1)
─ 1
= ───────────
(2x ─ 1)(2x + 1)
Vr. / Qu. 19.
OF / OR
2 ─ x
2 + x 1 ─ 6x
19. ────── ━ ───── ━ ───────
1 ─ 2x 1 + 2x 4x
2 ─ 1
2 ─ x
2 + x 1 ─ 6x
Verander die tekens van een nie vier nie
= ──────── ━ ───── ━ ─────────
1 ─ 2x 1 + 2x ─(─4x
2 + 1)
Change the signs of one, not four.
2 ─ x
2 + x 1 ─ 6x
= ───── ━ ───── ┼ ──────
1 ─ 2x 1 + 2x 1 ─ 4x
2
2 ─ x
2 + x 1 ─ 6x
= ───── ━ ───── ┼ ───────────
1 ─ 2x 1 + 2x (1 ─ 2x)(1 + 2x)
(2 ─ x)(1 + 2x) ─ (2 + x)(1 ─ 2x) + 1 ─ 6x
= ─────────────────────────────
(1 ─ 2x)(1 + 2x)
2 + 3x ─ 2x
2 ─ (2 ─ 3x ─ 2x
2) + 1 ─ 6x
= ─────────────────────────────
(1 ─ 2x)(1 + 2x)
2 + 3x ─ 2x
2 ─ 2 + 3x + 2x
2 + 1 ─ 6x
= ─────────────────────────────
(1 ─ 2x)(1 + 2x)
1
= ───────────
(1 ─ 2x)(1 + 2x)
Vr. / Qu. 19.
3 ─ 2a
2a + 3 12
20. ────── ━ ───── ━ ───────
3 + 2a 2a ─ 3 4a
2 ─ 9
3 ─ 2a
2a + 3 12
onnodig om tekens te verander
= ──────── ━ ───── ━ ─────────
2a + 3 2a ─ 3 (2a ─ 3)(2a + 3)
unnecessary to change any sign.
(3 ─ 2a)(2a ─ 3) ─ (2a + 3)(2a + 3) ─ 12
= ─────────────────────────────
(2a ─ 3)(2a + 3)
─4a
2 ─ 12a ─ 9 ─ 4a
2 ─ 12a ─ 9 ─ 12
= ─────────────────────────────
(2a ─ 3)(2a + 3)
─8a
2 ─ 24a ─ 30
= ─────────────
(2a ─ 3)(2a + 3)
Vr. / Qu. 20.
3 ─ y
3 + y 1 ─ 16y
21. ────── ━ ───── ━ ───────
1 ─ 3y 1 + 3y 9y
2 ─ 1
3 ─ y
3 + y 1 ─ 16y
Verander die tekens
= ──────── ━ ───── ━ ─────────
1 ─ 3y 1 + 3y ─(1 ─ 9y
2)
Change the signs
3 ─ y
3 + y 1 ─ 16y
= ───── ━ ───── ┼ ──────
1 ─ 3y 1 + 3y 1 ─ 9y
2
(3 ─ y)(1 + 3y) ─ (3 + y)(1 ─ 3y) + 1 ─ 16y
= ─────────────────────────────
(1 ─ 3y)(1 + 3y)
3 + 8y ─ 3y
2 ─ 3 + 8y + 3y
2 + 1 ─ 16y
= ─────────────────────────────
(1 ─ 3y)(1 + 3y)
1
= ───────────
(1 ─ 3y)(1 + 3y)
Vr. / Qu. 21.
3 1
3 1
22. ────── ━ ───── ┼ ───── ━ ─────
x + 1 x + 3 1 ─ x 3 ─ x
3
1 3 1
Verander die tekens
= ───── ━ ──── ┼ ──────── ─ ────────
x + 1 x + 3 ─(─1 + x) ─(─3 + x)
Change the signs
Onthou die breuk is negatief en dus
3
1 3 1
verander sy teken!
= ───── ━ ──── ─ ───── ┼ ─────
x + 1 x + 3 x ─ 1 x ─ 3
Remember the fraction is negative
and therefore its sign changes!
(3 ─ y)(1 + 3y) ─ (3 + y)(1 ─ 3y) + 1 ─ 16y
= ─────────────────────────────
(1 ─ 3y)(1 + 3y)
3 + 8y ─ 3y
2 ─ 3 + 8y + 3y
2 + 1 ─ 16y
= ─────────────────────────────
(1 ─ 3y)(1 + 3y)
1
= ───────────
(1 ─ 3y)(1 + 3y)
Vr. / Qu. 22.
1 ─ 2a
1 + 2a 1 ─ 20a
2
23. ────── ━ ────── ━ ───────
1 + 2a 1 ─ 2a 4a
2 ─ 1
1 ─ 2a
1 + 2a 1 ─ 20a
2
Verander die tekens
= ──────── ━ ───── ━ ─────────
1 + 2a 1 ─ 2a ─(1 ─ 4a
2)
Change the signs
Onthou die breuk is negatief en dus
1 ─ 2a
1 + 2a 1 ─ 20a
2
verander sy teken!
= ──────── ━ ───── ╋ ─────────
1 + 2a 1 ─ 2a 1 ─ 4a
2
Remember the fraction is negative and
therefore its sign changes!
(1 ─ 2a)(1 ─ 2a) ─ (1 + 2a)(1 + 2a) + 1 ─ 20a
2
= ─────────────────────────────
(1 ─ 2a)(1 + 2a)
1 ─ 4a + 4a
2 ─ 1 ─ 4a ─ 4a
2 + 1 ─ 20a
2
= ─────────────────────────────
(1 ─ 2a)(1 + 2a)
1 ─ 8a ─ 20a
2
= ───────────
(1 ─ 2a)(1 + 2a)
(1 ─ 10a)(1 + 2a)
= ────────────
(1 ─ 2a)(1 + 2a)
1 ─ 10a
= ───────
1 ─ 2a
Vr. / Qu. 23.
a ─ 1
a + 1 4 2
24. ────── ━ ────── ━ ───── ┼ ─────
a ─ 2 a + 2 4 ─ a
2 2 ─ a
a ─ 1
a + 1 4 2
Verander die tekens
= ───── ━ ──── ─ ──────── ┼ ────────
a ─ 2 a + 2 ─(─4 + a
2) ─(─2 + a)
Change the signs
Onthou die breuke is negatief
a ─ 1
a + 1 4 2
en dus verander hulle tekens!
= ───── ━ ──── ┼ ─────────── ─ ─────
a ─ 2 a + 2 (a ─ 2)(a + 2) a ─ 2
Remember the fractions are
negative and therefore their
signs change!
(a ─ 1)(a + 2) ─ (a + 1)(a ─ 2) + 4 ─ 2(a + 2)
= ─────────────────────────────
(a ─ 2)(a + 2)
a
2 + a ─ 2 ─ a
2 + a + 2 + 4 ─ 2a ─ 4
= ─────────────────────────────
(a ─ 2)(a + 2)
0
= ─────────── = 0
(a ─ 2)(a + 2)
Vr. / Qu. 24.
5y
15y ─ 15 9y + 27
25. ────────── ━ ──────────── ━ ────────────
2y
2 ─ 4y ─ 6 16y
2 ─ 80y + 96 16y
2 ─ 16y ─ 32
5y
15(y ─ 1) 9(y + 3)
= ────────── ━ ─────────── ━ ──────────
2(y ─ 3)(y + 1) 16(y ─ 2)(y ─ 3) 16(y ─ 2)(y + 1)
5y X 8(y ─ 2) ─ 15(y ─ 1) X (y + 1) ─ 9(y + 3) X (y ─ 3)
= ─────────────────────────────────────
16(y ─ 3)(y ─ 2)(y + 1)
40y
2 ─ 80y ─ 15y
2 + 15 ─ 9y
2 + 81
= ──────────────────────────
16(y ─ 3)(y ─ 2)(y + 1)
16y
2 ─ 80y + 96
= ─────────────────
16(y ─ 3)(y ─ 2)(y + 1)
16(y ─ 3)(y ─ 2)
= ────────────────
16(y ─ 3)(y ─ 2)(y + 1)
1
= ──────
(y + 1)
Vr. / Qu. 25.
c + 3d
c + 2d c + d
26. ──────────── ┼ ──────────── ━ ─────────────
4c
2 + 12cd + 8d
2 c
2 + 4cd + 3d
2 4c
2 + 20cd + 24d
2
c + 3d
c + 2d c + d
= ──────────── ┼ ──────────── ━ ─────────────
4(c
2 + 3cd + 2d
2) c
2 + 4cd + 3d
2 4(c
2 + 5cd + 6d
2)
c + 3d
c + 2d c + d
= ──────────── ┼ ──────────── ━ ─────────────
4(c + d)(c + 2d) (c + d)(c + 3d) 4(c + 2d)(c + 3d)
(c + 3d)(c + 3d) +
(c + 2d) X 4(c + 2d) ─ (c + d) X (c + d)
= ─────────────────────────────────────
4(c + d)(c + 2d)(c + 3d)
c
2 + 6cd + 9d
2 +
4c
2 + 16cd + 16d
2 ─ c
2 ─ 2cd ─ d
2
= ─────────────────────────────────────
4(c + d)(c + 2d)(c + 3d)
4c
2 + 20cd + 24d
2
= ─────────────────
4(c + d)(c + 2d)(c + 3d)
4(c + 2d)(c + 3d)
= ─────────────────
4(c + d)(c + 2d)(c + 3d)
1
= ─────
c + d
Vr. / Qu. 26.
10b ─ 15
7b 36b + 12
27. ──────────── ┼ ────────── ━ ─────────────
66b
2 + 11b ─ 11 6b
2 + 7b ━ 3 44b
2 + 88b + 33
5(2b ─ 3)
7b 12(3b + 1)
= ──────────── ┼ ────────── ━ ─────────────
11(6b
2 + b ─ 1) 6b
2 + 7b ━ 3 11(4b
2 + 8b + 3)
5(2b ─ 3)
7b 12(3b + 1)
= ───────────── ┼ ─────────── ━ ─────────────
11(2b + 1)(3b ─ 1) (2b + 3)(3b ━ 1) 11(2b + 1)(2b + 3)
5(2b ─ 3) X (2b + 3) +
7b X 11(2b + 1) ─ 12(3b + 1) X (3b ─ 1)
= ────────────────────────────────────────────
11(2b + 1)(2b + 3)(3b ─ 1)
20b
2 ─ 45 +
154b
2 + 77b ─ 108b
2 + 12
= ───────────────────────────
11(2b + 1)(2b + 3)(3b ─ 1)
66b
2 + 77b ─ 33
= ──────────────────
11(2b + 1)(2b + 3)(3b ─ 1)
11(2b + 3)(3b ─ 1)
= ──────────────────
11(2b + 1)(2b + 3)(3b ─ 1)
1
= ──────
2b + 1
Vr. / Qu. 27.
3
1 a + 2b
28. ─────── ━ ─────── ┼ ─────────
8a + 8b 8a ─ 8b 4(a
2 + b
2)
3
1 a + 2b
= ─────── ━ ─────── ┼ ─────────
8(a + b) 8(a ─ b) 4(a
2 + b
2)
3(a ─ b)(a
2 + b
2) ─
1(a + b)(a
2 + b
2) + (a + 2b) X 2(a + b)(a ─ b)
= ───────────────────────────────────────────
8(a + b)(a ─ b)(a
2 + b
2)
3a
3 + 3ab
2 ─ 3a
2b ─ 3b
3 ─
a
3 ─ ab
2 ─ a
2b ─ b
3 + 2a
3 ─ 2ab
2 + 4a
2b ─ 4b
3
= ──────────────────────────────────────────────────
8(a + b)(a ─ b)(a
2 + b
2)
4a
3 ─ 8b
3
= ────────────────
8(a + b)(a ─ b)(a
2 + b
2)
4(a
3 ─ 2b
3)
= ──────────
8(a
4 ─ b
4)
a
3 ─ 2b
3
= ──────────
2(a
4 ─ b
4)
Vr. / Qu. 28.
x
3 + 8y
3 2x
2 ─ 3xy ─ 2y
2
2x
2 + 5xy + 2y
2
29. ─────────── X ──────────── ÷ ───────────
x
2 ─ 3xy + 2y
2
x
2 ─ 2xy + 4y
2 x
2 ─ 2xy + y
2
(x + 2y)(x
2 ─ 2xy + 4y
2) (x ─ 2y)(2x + y)
(x ─ y)
2
= ──────────────── X ──────────── X ────────────
(x ─ y)(x ─ 2y)
x
2 ─ 2xy + 4y
2 (x + 2y)(2x + y)
= x ─ y
Vr. / Qu. 29.
x
2 ─ 5x + 6 x
2 ─ 4x + 3
x
2 + 3x ─ 4
30. ────────── ÷ ────────── X ───────────
x
2 + 5x + 4
2x
2 + 3x + 1 2x
2 ─ 3x ─ 2
(x ─ 2)(x ─ 3) (x + 1)(2x + 1)
(x ─ 1)(x + 4)
= ────────── X ────────── X ───────────
(x + 1)(x + 4)
(x ─ 1)(x ─ 3) (x ─ 2)(2x + 1)
= 1
Vr. / Qu. 30.
x
2 + 5x + 6 x
2 ─ 4x + 3
x
2 + 3x ─ 4
31. ─────────── ÷ ──────────── X ───────────
x
2 ─ 3x + 2
x
2 ─ 2xy + 4y
2 x
2 ─ 2xy + 4y
2
(x + 2)(x + 3) x
2 ─ 2xy + 4y
2
(x ─ 1)(x + 4)
= ────────── X ────────── X ───────────
(x ─ 1)(x ─ 2)
(x ─ 1)(x ─ 3) x
2 ─ 2xy + 4y
2
(x + 2)(x + 3)(x + 4)
= ───────────────
(x ─ 1)(x ─ 2)
(x ─ 3)
Vr. / Qu. 31.
1 + 8x
3 4x ─ x
3
(1 ─ 2x)
2 + 2x
32. ─────── X ─────── ÷ ───────────
(2 ─ x)
2
1 ─ 4x
2 2 ─ 5x + 2x
2
(1 + 2x)(1 ─ 2x + 4x
2) x(2 ─ x)(2 + x)
1 ─ 2x + 4x
2
= ─────────────── X ──────────── ÷ ───────────
(2 ─ x)
2
(1 ─ 2x)(1 + 2x) (x ─ 2)(2x ─ 1)
(1 + 2x)(1 ─ 2x + 4x
2) x[─(x ─ 2)](x + 2)
(x ─ 2)(2x ─ 1)
= ─────────────── X ────────────── X ───────────
[─(x ─ 2)]
2
[─(2x ─ 1)](2x + 1) 1 ─ 2x + 4x
2
= x(x + 2)
Vr. / Qu. 32.
x
2 + 2xy + y
2 ─ a
2 y
2 ─ 2xy + x
2 ─ c
2
x + y + a
33. ───────────── X ───────────── ÷ ───────
y
2 ─ c
2 + 2cx ─ x
2
(y ─ c)
2 ─ x
2 y + x ─ c
(x + y)
2 ─ a
2 (y ─ x)
2 ─ c
2
x + y + a
= ────────── X ────────── ÷ ───────
y
2 ─ (x ─ c)
2
(y ─ c)
2 ─ x
2 x + y ─ c
(x + y ─ a)(x + y + a) [─(x ─ y)]
2 ─ c
2
x + y ─ c
= ─────────────── X ────────────── X ───────
[y ─ (x ─ c)][y + (x ─ c)]
(y ─ c ─ x)(y ─ c + x) x + y + a
(x + y ─ a)(x + y + a) (x ─ y ─ c)(x ─ y + c)
x + y ─ c
= ─────────────── X ────────────── X ───────
(y ─ x + c)(y + x ─ c)
(y ─ c ─ x)(y ─ c + x) x + y + a
(x + y ─ a)(x + y + a) (x ─ y ─ c)(x ─ y + c)
x + y ─ c
= ─────────────── X ────────────── X ───────
─(x ─ y ─ c)(x + y ─ c)
─(x ─ y + c)(x + y ─ c) x + y + a
(x + y ─ a)
= ─────────
(x + y ─ c)
Vr. / Qu. 33.
4x
2 + x ─ 14 4x
2 x ─ 2
2x
2 + 4x
34. ────────── X ────── X ────── ÷ ──────────
6x ─ 14 x
2 ─ 4 4x ─ 7
3x
2 ─ x ─ 14
(4x ─ 7)(x + 2) 4x
2 x ─ 2
(x + 2)(3x ─ 7)
= ────────── X ───────── X ────── X ──────────
2(3x ─ 7) (x ─ 2)(x + 2) 4x ─ 7
2x(x + 2)
= x
Vr. / Qu. 34.