∠A = 180° − (∠B + ∠C)        (binnehoeke van  / int. angles of ΔABC.)

= 180° − (45° + 30°)

= 105°

∠D₁  =  ∠E₂  + ∠C        (buite ∠  /  ext. ∠ of ΔEDC.)

= 45° + 30°

= 75°

∠A  +  ∠D₁  =  105°  + 75°

= 180°

∴  ABDE is 'n koordevierhoek  /  ABDE is a cyclic quadrilateral    . . .

som teenoorst. ∠'e = 180°  /  sum int. opp. ∠ = 180°

Punte P, S, T en R is konsiklies as hulle op

Points P, S, T and R are concyclic if they lie on

die omtrek van 'n sirkel lê, d.w.s. as PSTR

the circumference of a circle, i.e. if PSTR is

'n koordevierhoek is.

a cyclic quadrilateral.

Dus, bewys PSTR is 'n koordevierhoek.

Therefore, prove PSTR is a cyclic quadrilateral.

∠P  =  90°        (∠ in halwe sirkel  /  ∠ in semi-circle)

∠STR  =  90°        (ST ⊥ QR)

∠P  +  ∠STR  =  180°

∴  PSTR is 'n koordevierhoek  /  PSTR is a cyclic quadrilateral&  . . .

     (oorstaande ∠'e suppl. / opp. int. ∠'s suppl.)

∠A₁  =  B₁        (AE = BE)

∠A₁  =  ∠C₂

OF / OR

∠B₁  =  ∠D₂

(verwis. ∠'e / alt. ∠'s,  AB || CD)

(verwis. ∠'e / alt. ∠'s,  AB || CD)

∠A₁  =  ∠D₂    (albei / both = ∠B₁)

∠B₁  =  ∠C₂    (albei / both = ∠A₁)

Albei onderspan deur BC /

Albei onderspan deur AD /

Both subtended by∠BC

Both subtended by∠AD

∴  ABCD 'n koordevierhoek  /  a cyclic quadrilateral

∠D + ∠CED + ∠C  =  180°        (Hoeke van / Angles of ΔCED = 180°)

∠D  =180°  −  (∠CED + ∠C)  =  180°  −  (100° + 30°)

= 50°

= ∠A

BC onderspan gelyke hoeke  /  BC subtends equal angles

∴  ABCD is 'n koordevierhoek  /  a cyclic quadrilateral

∠P + ∠Q + ∠R + ∠S  =  360°        (Hoeke van / Angles of vierhoek / quadrilateral PQRS = 360°)

3x° + x° + 2x° + 4x°  =  360°

10x°  =  360°

x  =  36°

∠P = 108°,   ∠Q = 36°,   ∠R = 72°,   ∠S = 144°

∠P + ∠R  =  108° + 72°     OF / OR      ∠Q + ∠S  =  36° + 144°

=  180°

=  180°

∴  Teenoorstaande binnehoeke = 180°   /    Opposite interior angles = 180°

∴  PQRS is 'n koorde vierhoek.   /    PQRS is a cyclic quadrilateral.

∠DAB  +  ∠DAE  =  180°

OF / OR

∠DCB  +  ∠DCF  =  180°

(BAE 'n rt. lyn / BAE a str. line)

(BCF 'n rt. lyn / BCF a str. lin)

∠DAB  +  34°  =  180°

∠DCB  +  146°  =  180°

∠DAB  =  146°

∠DCB  =  34°

∠DAB  =  146°  =  ∠DCF

∠DCB  =  34°°  =  ∠DAE

∴  Bnnehoek  =  buitehoek   /   exterior angle  =  interior angle

∴  ABCD is 'n koordevierhoek    /    ABCD is a cyclic quadrilateral

∠MKN  +  ∠KMN  +  ∠KNM  =  180°         (Binnehoeke van ΔKNM = 180°  /  Int. ∠'s of ΔKNM = 180°)

∠MKN  +  35°  +  70°  =  180°

∠MKN  =  75°

∠MKN  =  75°  =  ∠MLN

NM onderspan gelyke hoeke  /  NM subtends equal angles.

KLMN is 'n koordevierhoek  /  KLMN is a cyclic quadrilateral.

∠ABD  =  ∠ACD  =  x°          (gegee  /  given)

AD onderspan gelyke hoeke  /  AD subtends equal angles

∴  ABCD is 'n koordevierhoek.  /  ABCD is a cyclic quadrilateral.

∠ACB  =  ∠ABC    (AB = AC)

∠ACB  =  ½ (180° − ∠BAC)

= 90°  − ½ ∠BAC

∠ADB  =  ∠ACB        (AB onderspan gelyke ∠'e / subtands equal ∠'s)

∠BDC  =  ∠BAC        (BC onderspan gelyke ∠'e / subtands equal ∠'s)

∠ADC  =  ∠ADB  +  ∠BDC

=  (90°  − ½ ∠BAC)  +  ∠BAC

=  90°  + ½ ∠BAC

∠KLN  =  ∠NOM        (buitehoek van kv. LNOM  /  ext. ∠ of Cyc. quad. LNOM)

∠NOM  =  ∠PNO + ∠P        (buitehoek van ΔPNO  /  ext. ∠ of ΔNPO)

∠K + ∠KLN + ∠KNL  =  180°        (binnehoeke van ΔKLN  /  int. ∠ of ΔKLN)

42° + ∠P + ∠PNO + ∠KNL  =  180°

42° + 42° + 2 ∠KNL  =  180°        (∠PNO = ∠KNL,   regoorstaande hoeke  /  vert. opp. ∠'s)

2 ∠KNL  =  96°

∠KNL  =  48°

∠M  =  ∠KNL        (buitehoek van kv. LNOM  /  ext. ∠ of Cyc. quad. LNOM)

=  48°

10.1

In ΔBDE en / andΔBDC

i).  DE = DC        (gegee  /  given)

ii).  DE = DC        (gegee  /  given)

iii).  DE = DC        (gegee  /  given)

∴  ΔBDE ≡ ΔBDC        (SHS  /  SAS)

∴  ∠DBE = ∠DBC        (ΔBDE ≡ ΔBDC)

10.2

∠ABD  =  ∠BDC        (verwis. ∠'e,  /  alt. ∠'s, AB ∥ DC)

∠BDC  =  ∠BDE        (gegee  /  given)

∴  ∠ABD  =  ∠BDE        (gegee  /  given)

Maar / But  ∠DBE = ∠DBC        (10.1)

∠DBC = ∠ADB        (verwis. ∠'e,  /  alt. ∠'s,  AD&nbap;∥ BC)

∴  ∠EBD  =  ∠ADB        (gegee  /  given)

∠ABE + ∠EBD  = ∠ADE + ∠ADB

∴  ∠ABE  =  ∠ADE

∴  AE onderspan gelyke hoeke  /  subtands equal angles)

∴  ABDE is 'n koordevierhoek.  /  a cyclic quadrilateral)

10.3

∠ABD  =  ∠EDB        (10.2)

ΔFBD is gelykbenige Δ  /  ΔFBD is an equilateral Δ        (basishoeke =  /  base ∠s =)

FB  =  FD

FA + AB  =  FE + ED

AB   =  CD        (oorst. sye van / opp. sides of  ∥^m ABCD)

=  ED        (gegee / given)

FA  =  FE

11.1

∠PQR  =  90°        (∠ in halwe sirkel  /  ∠ in semi-circle)

∠PQR + ∠PQB  =  180°        (RQB 'n rt. lyn  /  RQB a str. line)

∠PQB  =  90°

In ΔBDE en / and  ΔBDC

∠PQR  =  ∠PQB        (elk  /  each  = 90°)

∠PRQ  =  ∠QPB        (raaklyn  /  tangent PAB,  koord / chord PQ)

∴  ∠RPQ  =  ∠B        (oorblywende ∠'e van,  /  remaining ∠'s of  ΔPQR en / and ΔPQB)

11.2

Laat RC en PQ mekaar in T sny.  /  Let RC and PQ intersect at T

In ΔCTQ en / and  ΔPTR

∠CTQ  =  ∠PTR        (regoorst. ∠'e  /  vert. opp. ∠'s)

∠TQC  =  ∠PRT        (onderspan deur PC / subtended by PC)

∴  ∠TCQ  =  ∠RPT        (oorblywende ∠'e van,  /  remaining ∠'s of  ΔCTQ en / and ΔPTR)

∴  ∠TCQ  =  ∠B        (∠RPT = ∠B  (10.1))

∴  ABQC is 'n koordevierhoek         (buithoek  = teenoorst. binnehoek)   /

ABQC is a cyclic quadrilateral,       (ext. ∠ = opp. int. ∠)