Graad 11 Wiskunde - Nog Oefeninge.

Grafiek van die hiperbool - antwoorde.

2
3
1.1
y = ––––––– + 3
1.2
y = ————  – 4
x + 1
x + 2
Horisontale asimptoot: y = 3
Horisontale asimptoot: y = −4
Vertikale asimptoot: x = − 1
Vertikale asimptoot: x = − 2
2
3
X-afsnit: ––––––– + 3 = 0
X-afsnit: –––––––  − 4 = 0
x + 1
x + 2
X (x + 1) :     2 + 3(x + 1) = 0
X (x + 2) :     3 - 4(x + 2) = 0
2 + 3x + 3 = 0
3 - 4x − 8 = 0
x = − 1,67
x = − 1,2
X-afsnit is (− 1,67 ; 0)
X-afsnit is (− 1,2 ; 0)
2
3
Y-afsnit: y = ––––––– + 3
Y-afsnit: y = –––––––  − 4
0 + 1
0 + 2
= 5
= − 2,5
Y-afsnit is (0 ; 5)
Y-afsnit is (0 ; − 2,5)
a is positief en dus is die grafiek in kwadrante I en III
a is positief en dus is die grafiek in kwadrante I en III
5
− 2
1.3
y = ––––––– + 5
1.4
y = ————  + 3
x - 3
x + 1
Horisontale asimptoot: y = 5
Horisontale asimptoot: y = 3
Vertikale asimptoot: x = 3
Vertikale asimptoot: x = − 1
5
− 2
X-afsnit: ––––––– + 5 = 0
X-afsnit: –––––––  + 3 = 0
x - 3
x + 1
X (x - 3) :     5 + 5(x - 3) = 0
X (x + 1) :     −2 + 3(x + 1) = 0
5 + 5x - 15 = 0
− 2 + 3x + 3 = 0
x = 2
x = − 0,33
X-afsnit is (2 ; 0)
X-afsnit is (− 0,33 ; 0)
5
− 2
Y-afsnit: y = ––––––– + 5
Y-afsnit: y = –––––––  + 3
0 - 3
0 + 1
= 3,33
= 1
Y-afsnit is (0 ; 3,33)
Y-afsnit is (0 ; 1)
a is positief en dus is die grafiek in kwadrante I en III
a is negatief en dus is die grafiek in kwadrante II en IV
− 3
− 5
1.5
y = –––––––  − 4
1.6
y = ————  − 2
x − 2
x + 3
Horisontale asimptoot: y = − 4
Horisontale asimptoot: y = − 2
Vertikale asimptoot: x = 2
Vertikale asimptoot: x = − 3
− 3
− 5
X-afsnit: –––––––  − 4 = 0
X-afsnit: –––––––  − 2 = 0
x − 2
x + 3
X (x − 2) :    −3 − 4(x − 2) = 0
X (x + 3) :    −5 − 2(x + 3) = 0
−3 − 4x + 8 = 0
− 5 − 2x − 6 = 0
x = 1,25
x = − 5,5
X-afsnit is (1,25 ; 0)
X-afsnit is (− 5,5 ; 0)
− 3
− 5
Y-afsnit: y = –––––––  − 4
Y-afsnit: y = –––––––  − 2
0 - 2
0 + 3
= − 2,5
= − 3,67
Y-afsnit is (0 ; − 2,5)
Y-afsnit is (0 ; − 3,67)
a is negatief en dus is die grafiek in kwadrante II en IV
a is negatief en dus is die grafiek in kwadrante II en IV
2.1
Horisontale asimptoot: y = 3 en dus q = 3
2.2
Horisontale asimptoot: y = − 3 en dus q = −3
Vertikale asimptoot: x = −1 en dus p = 1
Vertikale asimptoot: x = 1 en dus p = −1
a
a
Vergelyking is y = –––––––  + 3
Vergelyking is y = –––––––  − 3
x + 1
x − 1
Vervang nou die koördinate van 'n punt vir x en y in die vergelying en los op vir a.
a
a
By A(−2 ; 0) :  –––––––  + 3 = 0
By B(0 ; −8) :  –––––––  − 3 = −8
−2 + 1
0 − 1
a
a
  –––––––  + 3 = 0
  –––––––  − 3 = −8
−1
−1
X −1 :                   a − 3 = 0
X −1 :                    a + 3 = 8
a = 3
a = 5
3
5
Vergelyking is y = –––––––  + 3
Vergelyking is y = –––––––  − 3
x + 1
x − 1
2.3
Horisontale asimptoot: y = 4 en dus q = 4
2.4
Horisontale asimptoot: y = − 1 en dus q = −1
Vertikale asimptoot: x = −2 en dus p = 2
Vertikale asimptoot: x = 3 en dus p = −3
a
a
Vergelyking is y = –––––––  + 4
Vergelyking is y = –––––––  − 1
x + 2
x − 3
Vervang nou die koördinate van 'n punt vir x en y in die vergelyking en los op vir a.
a
a
By Q(−3 ; 7) :  –––––––  + 4 = 7
By Q(5 ; −3) :  –––––––  − 1 = −3
−3 + 2
5 − 3
a
a
  –––––––  + 4 = 7
  –––––––  − 1 = −3
−1
2
X −1 :                   a − 4 = − 7
X 2 :                    a − 2 = − 6
a = − 3
a = − 4
− 3
− 4
Vergelyking is y = –––––––  + 3
Vergelyking is y = –––––––  − 3
x + 2
x − 3
3.1
P is die punt (1 ; 2)
3.2
p = − 1 en q = 2
a
3.3
y = (x + p) + q
Vergelyking is y = –––––––  + 2
x − 1
a
y = (x − 1) + 2
By Q(2;5) :  –––––––  + 2 = 5
2 − 1
a
y = x − 1 + 2
–––––––  + 2 = 5
1
y = x + 1
a + 2 = 5
a = 3
3
Vergelyking is y = –––––––  + 2
x − 1
3.4
By R is die y-waardes gelyk sodat
3
 –––––––   + 2 = x + 1
x − 1
X (x − 1)  :      3 + 2x − 2 = x2 − 1
x2 − 2x − 2 = 0
———————
−(−2) ± √(−2)2 −4(1)(−2)
x =  ————————————
2(1)
x = 2,73  OF  x = − 0,73
By R x > 0 en dus x = 2,73 en y = 2,73 + 1 = 3,73
R is die punt (2,73 ; 3,73)
4.1
P is die punt (−2 ; −3) en dus is p = 2 en q = − 3
a
5
4.2
Vergelyking is y = –––––––  − 3
4.3
By B : y = –––––––  − 3
x + 2
0 + 2
a
5
By Q(−1 ; 2):  –––––––  − 3 = 2
= — − 3
− 1 + 2
2
a − 3  = 2
= − 0,5
5
a = 5
By A :   –––––––  − 3 = 0
x + 2
4.4
y = (x + p) + q
X (x + 2):   5 − 3x − 6 = 0
y = (x + 2) − 3
x = − 0,33
= x − 1
5
4.6
Definisieversameling : x = {x | x ≠ − 2 ; }
}
4.5
By T      –––––––  − 3 = x − 1
x + 2
Waardeversameling : x = {y | y ≠ − 3 ; }
}
X (x + 2):   5 − 3x − 6 = x2 + x − 2
x2 + 4x − 3 = 0
—————
−4 ± √42 −4(1)(−3)
x =  ——————————
x = − 4,65  OF  x = 0,65
5.1
Horisontale asimptoot: y = 4 en dus q = 4
5.2
Vertikale asimptoot: x = 2 en dus p = − 2
a
− 8
5.3
Vergelyking is y = –––––––  + 4
5.4
By A :      –––––––  + 4 = 0
x − 2
x − 2
a
By Q(−2;6) :     –––––––  + 4 = 6
X (x − 2):    −8 + 4x −8 = 0
−2 −2
X −4:                           a −16 = −24
4x = 16
a = −8
x = 4
− 8
− 8
Vergelyking is y = –––––––  + 4
By B : y =   –––––––  + 4
x − 2
0 − 2
= 4 + 4 = 8
A is die punt (4 ; 0) en B is die punt (0 ; 8)
5.5
Vergelyking is y = −( x + p ) + q
5.6
By R en S is die y-waardes gelyk.
− 8
y = −( x − 2 ) + 4
    –––––––  + 4 = − x + 6
x − 2
= − x + 2  + 4
X ( x − 2 ) :  − 8 + 4(x − 2) = (x − 2)(−x + 6)
= − x + 6
− 8 + 4x − 8 = − x2 + 8x − 12
x2 − 4x − 4 = 0
———————
−(−4) ± √(−4)2 −4(1)(−4)
5.7
Definisieversameling :  {x | x ≠ − 2 ; }
}
x =  ————————————
2(1)
—–
4 ± √32
Waardeversameling :  {y | y ≠ 4 ; }
}
x =  —————
2
− 8
5.8
h(x) =   ––––––––––  + 4 − 3
x = − 0,83  OF  x = 4,83
x + 2 − 5
− 8
=   –––––––  + 1
y = 6,83  OF  y = 1,17
x − 3
6.1
Horisontale asimptoot: y = 5 en dus q = 5
6.2
Vertikale asimptoot: x = 3 en dus p = − 3
6
6
6.3
5 − –––––––  = 0
6.4
y = 5 − –––––––
x − 3
0 − 3
X (x − 3) : 5x − 15 − 6 = 0
= 5 − (− 2)
5x = 21
= 7
x = 4,2
A is die punt (4,2 ; 0)
B is die punt (0 ; 7)
6
6
6.5
By D(5;d):  d = 5 − –––––––  
6.6
By E(e;−1): 5 − ––––––– = 6,5
5 − 3
e − 3
= 5 − 3
X(x − 3):  5e − 15 − 6 = 6,5e − 19,5
= 2
− 1,5e = 1,5
e = − 1
6.7
By R en S is die y-waardes van die hiperbool en die reguit lyn gelyk.
6
By R en S:  5 − –––––––    = − 2x + 15
x − 3
X (x − 3):         5x − 15 − 6  = − 2x2 + 21x − 45
2x2 − 16x + 24 = 0
x2 − 8x + 12 = 0
(x − 2)(x − 6) = 0
x = 2  OF  x = 6
x = 2 : y = −2(2) + 15      OF      x = 6 : y = −2(6) + 15
= 11                   OF                    = 3
Die snypunte is (2 ; 11)     OF   (6 ; 3)
7.1
Horisontale asimptoot: y = −3 en vertikale asimptoot: x = −1 en dus is P die punt (−1 : −3)
− 5
− 5
7.2
–––––––   − 3 = 0
7.3
y =  –––––––   − 3
x + 1
0 + 1
X (x + 1) : − 5 − 3x − 3 = 0
= − 5 − 3
− 3x = 8
= − 8
x = − 2,67
A is die punt (− 2,67 ; 0)
B is die punt (0 ; − 8)
− 5
− 5
7.4
By D(0,5;d):  d = ––––––– − 3
7.5
By E(e;−1): –––––––  − 3  =  − 1
0,5 + 1
e + 1
− 19
 =  –––––
X (e + 1) : − 5 − 3e − 3 = − e − 1
3
2 e = − 7
e = − 3,5
7.6
Positiewe simmetrie-as: y = (x + p) + q    en  negatiewe simmetrie-as: y = − (x + p) + q
y = (x + 1) − 3
y = − (x + 1) − 3
y = x − 2
y = − x − 4
4
4
8.1
Vergelyking :  y = ––––––– + 2
Vergelyking :  y = –––––––  − 2
x − 1
x + 2
Horisontale asimptoot: y = 2
Horisontale asimptoot: y = −2
Vertikale asimptoot: x = 1
Vertikale asimptoot: x = −2
Stukke is p en r
Stukke is q en 2
4
4
4
8.2
 ––––––– + 2  =    –––––––––––  + 2 − 4   =  ––––––––  − 2
x − 1
x − 1 + 3
x + 2
Grafiek A
Grafiek B
Die grafiek A word 3 eenhede na links en 4 eenhede afwaarts geskuif om grafiek B te vorm.
  
Na bo Oefening Oefeninge - Graad 11 Oefeninge - Graad 10 Oefeninge - Graad 12 Tuisblad