In ΔABC :  ∠A = 49°,  ∠B = 72°,  BC = 23    . . .   gegee / given

Dus, 'n sy en die teenoorstaande hoek en 'n ander hoek word gegee sodat ons dus

die sin-reël kan toepas.  /

Therefore, a side and the opposite angle and another angle are given so that we can apply the sine rule.

∠C = 180°  −  (49°  +  72°)  =  59°

AB

BC

AC

AB

23

AC

─────  =  ─────  =  ─────       en dus  /  and therefore

─────  =  ─────  =  ─────

sin C

sin A

sin B

sin 59°

sin 49°

sin 72°

BC  ×  sin C

BC  ×  sin B

BA  =  ──────────

AC  =  ──────────

sin A

sin A

23  ×  sin 59°

23  ×  sin 72°

=  ────────────

=  ────────────

sin 49°

sin 49°

=  26,12

=  28,98

C = 59°,   AB = 26,12,  AC = 28,98     

Antwoord/Answer 1.2

In ΔDEF :  ∠D = 67°,  ∠E = 38°,  EF = 56    . . .   gegee / given

Dus, 'n sy en die teenoorstaande hoek en 'n ander hoek word gegee sodat ons dus

die sin-reël kan toepas.  /

Therefore, a side and the opposite angle and another angle are given so that we can apply the sine rule.

∠F = 180°  −  (67°  +  38°)  =  75°

DE

EF

DF

DE

56

DF

─────  =  ─────  =  ─────       en dus  /  and therefore

─────  =  ─────  =  ─────

sin F

sin D

sin E

sin 75°

sin 67°

sin 38°

EF  ×  sin F

EF  ×  sin E

DE  =  ──────────

DF  =  ──────────

sin D

sin D

23  ×  sin 75°

23  ×  sin 38°

=  ────────────

=  ────────────

sin 67°

sin 67°

=  24,13

=  15,38

F = 75°,   DE = 24,13,  DF = 15,38

Antwoord/Answer 1.3

In ΔKLM :  ∠L = 29,5°,  ∠M = 66,3°,  KM = 13    . . .   gegee / given

Dus, 'n sy en die teenoorstaande hoek en 'n ander hoek word gegee sodat ons dus

die sin-reël kan toepas.  /

Therefore, a side and the opposite angle and another angle are given so that we can apply the sine rule.

∠K = 180°  −  (29,5°  +  66,3°)  =  84,2°

KL

LM

KM

KL

LM

13

─────  =  ─────  =  ─────       en dus  /  and therefore

─────  =  ─────  =  ─────

sin M

sin K

sin L

sin 66,3°

sin 84,2°

sin 29,5°

KM  ×  sin M

KM  ×  sin K

DE  =  ──────────

DF  =  ──────────

sin L

sin L

13  ×  sin 66,3°

13  ×  sin 84,2°

=  ────────────

=  ────────────

sin 29,5°

sin 29,5°

=  24,17

=  26,26

K = 84,2°,   KL = 24,17,  LM = 26,26

Antwoord/Answer 1.4

In ΔPQR :  ∠P = 67,2°,  ∠R = 38,8°,  PQ = 45    . . .   gegee / given

Dus, 'n sy en die teenoorstaande hoek en 'n ander hoek word gegee sodat ons dus

die sin-reël kan toepas.  /

Therefore, a side and the opposite angle and another angle are given so that we can apply the sine rule.

∠Q = 180°  −  (67,2°  +  38,8°)  =  74°

PQ

QR

PR

45

QR

PR

─────  =  ─────  =  ─────       en dus  /  and therefore

─────  =  ─────  =  ─────

sin R

sin P

sin Q

sin 38,8°

sin 84,2°

sin 67,2°

PQ  ×  sin P

PQ  ×  sin Q

QR  =  ──────────

PR  =  ──────────

sin R

sin R

45  ×  sin 67,2°

45  ×  sin 74°

=  ────────────

=  ────────────

sin 38,8°

sin 38,8°

=  66,20

=  69,03

∠Q = 74°,   QR = 66,20,  PR = 69,03

In ΔABC :  ∠A = 59°,  BC = 32,  AC = 23    . . .   gegee / given

Dus, 'n sy en die teenoorstaande hoek en 'n ander sy word gegee sodat ons dus

die sin-reël kan toepas.  /

Therefore, a side and the opposite angle and another side are given so that we can apply the sine rule.

sin A

sin B

sin C

sin 59°

sin B

sin C

─────  =  ─────  =  ─────       en dus  /  and therefore

─────  =  ─────  =  ─────

BC

AC

AB

32

23

AB

AC  ×  sin A

sin B  =  ──────────

BC

23  ×  sin 59°

=  ──────────

32

=  0,616088.....

∠B = 38,0°

∠C = 180°  −  (59°  +  38°)  =  83°

BC  ×  sin C

AB  =  ──────────

sin A

32  ×  sin 83°

=  ────────────

sin 59°

=  37,05

∠B = 38°,  ∠C = 83°, AB = 37,05

In ΔDEF :  ∠D = 74°,   DE = 18,  EF = 56    . . .   gegee / given

Dus, 'n sy en die teenoorstaande hoek en 'n ander sy word gegee sodat ons dus

die sin-reël kan toepas.  /

Therefore, a side and the opposite angle and another side are given so that we can apply the sine rule.

sin D

sin E

sin F

sin 74°

sin E

sin F

─────  =  ─────  =  ─────       en dus  /  and therefore

─────  =  ─────  =  ─────

EF

DF

DE

56

DF

18

DE  ×  sin D

sin F  =  ──────────

EF

18  ×  sin 74°

=  ──────────

56

=  0,308976.....

∠F = 18,0°

∠E = 180°  −  (74°  +  18°)  =  88°

EF  ×  sin E

DF  =  ──────────

sin D

56  ×  sin 88°

=  ────────────

sin 74°

=  58,22

∠E = 88°,  ∠F = 18°, DF = 58,22

In ΔKLM :  ∠L = 138°,   KL = 58,  KM = 123    . . .   gegee / given

Dus, 'n sy en die teenoorstaande hoek en 'n ander sy word gegee sodat ons dus

die sin-reël kan toepas.  /

Therefore, a side and the opposite angle and another side are given so that we can apply the sine rule.

sin K

sin L

sin M

sin K

sin 138°

sin M

─────  =  ─────  =  ─────       en dus  /  and therefore

─────  =  ─────  =  ─────

LM

KM

KL

LM

123

58

KL  ×  sin L

sin M  =  ──────────

KM

58  ×  sin 138°

=  ──────────

123

=  0,315525.....

∠F = 18,4°

∠K = 180°  −  (138°  +  18,4°)  =  23,6°

KM  ×  sin K

LM  =  ──────────

sin L

123  ×  sin 23,6°

=  ────────────

sin 138°

=  73,59

∠K = 23,6°,  ∠M = 18,4°, DF = 73,59

In ΔPQR :  ∠Q = 140°,   QR = 48,  PR = 74    . . .   gegee / given

Dus, 'n sy en die teenoorstaande hoek en 'n ander sy word gegee sodat ons dus

die sin-reël kan toepas.  /

Therefore, a side and the opposite angle and another side are given so that we can apply the sine rule.

sin P

sin Q

sin R

sin P

sin 140°

sin R

─────  =  ─────  =  ─────       en dus  /  and therefore

─────  =  ─────  =  ─────

QR

PR

PQ

48

74

PQ

QR  ×  sin Q

sin P  =  ──────────

PR

48  ×  sin 140°

=  ──────────

74

=  0,4169.....

∠P = 24,6°

∠R = 180°  −  (140°  +  24,6°)  =  15,4°

PR  ×  sin R

PQ  =  ──────────

sin Q

74  ×  sin 15,4°

=  ────────────

sin 140°

=  30,57

∠P = 24,6°,  ∠R = 15,4°, PQ = 30,57

q

r

r

q

─────  =  ─────

─────  =  ─────

sin y

sin x

sin x

sin y

r sin y

q sin x

q  =  ──────

r  =  ───────

sin x

sin y

Onbekende hoek  /  Unknown angle  =  (180° − (x + y))

sin (180° − (x + y))  =  sin (x + y)

p

q

p

r

────────  =  ─────

────────  =  ─────

sin (x + y)

sin y

sin (x + y)

sin x

q sin (x + y)

r sin (x + y)

p  =  ─────────

p  =  ─────────

sin y

sin x

q

p

r

p

─────  =  ────────

─────  =  ────────

sin y

sin (x + y)

sin x

sin (x + y)

p sin y

p sin x

q  =  ─────────

r  =  ────────

sin (x + y)

sin (x + y)

AC² = AB²  +  BC²  −  2 . AB . BC . cos B

DF² = DE²  +  EF²  −  2 . DE . EF . cos E

= 8²  +  7²  −  2 . 8 . 7 . cos 53°

= 11²  +  5²  −  2 . 11 . 5 . cos 144°

= 45,5967...

= 234,9918...

───────

───────

AC  = √45,5967...

DF = √234,9918...

= 6,75

= 15,33

KM² = KL²  +  LM²  −  2 . KL . LM . cos L

PQ² = QR²  +  PR²  −  2 . QR . PR . cos R

= 4,2²  +  3,7²  −  2 . 4,2 . 3,7 . cos 130°

= 632²  +  543²  −  2 . 632 . 543 . cos 56°

= 51,3078...

= 310 469,8323...

───────

───────

AC  = √51,3078...

DF = √310 469,8323...

= 7,16

= 557,20

YZ² = XY²  +  XZ²  −  2 . XY . XZ . cos X

AB² = AC²  +  BC²  −  2 . AC . BC . cos C

= 98,3²  +  76,9²  −  2 . 98,3 . 76,9 . cos 98,2°

= 9,6²  +  4,7²  −  2 . 9,6 . 4,7 . cos 144°

= 17 732,84124...

= 187,2556...

───────

───────

AC  = √17 732,84124...

DF = √187,2556...

= 133,16

= 13,68

EF² = DE²  +  DF²  −  2 . DE . DF . cos E

KM² = KL²  +  LM²  −  2 . KL . LM . cos L

Skryf cos D i.t.v. die sye.  /  Write cos D in terms of the sides.

DE²  +  DF²  −  EF²

KL²  +  LM²  −  KL²

cos D  =  ────────────────

cos L  =  ────────────────

2 . DE . DF

2 . KL . LM

10²  +  14²  −  5²

9²  +  11²  −  5²

=  ─────────────

=  ─────────────

2 . 10 . 14

2 . 9 . 11

=  0,9678...

=  0,8939...

∠D =  14,57°

∠L =  26,63°

QR² = PQ²  +  PR²  −  2 . PQ . PR . cos P

YZ² = XY²  +  XZ²  −  2 . XY . XZ . cos X

PQ²  +  PR²  −  QR²

XY²  +  XZ²  −  YZ²

cos P  =  ────────────────

cos X  =  ────────────────

2 . PQ . PR

2 . XY . XZ

6²  +  3²  −  4²

9²  +  5²  −  11²

=  ─────────────

=  ─────────────

2 . 6 . 3

2 . 9 . 5

=  0,8055...

=  −0,1666...

∠P =  36,34°

cos X is negatef en dus is X 'n stomphoek.

cos X is negative and therefore X is

an obtuse angle.

skerphoek / acute angle  =  80,4059...°

∠X = 180°  −  80,4059...°

=  99,59°

DF² = DE²  +  EF²  −  2 . DE . EF . cos E

q² = p²  +  r²  −  2 . p . r . cos X

DE²  +  EF²  −  DF²

p²  +  r²  −  q²

cos E  =  ───────────────

cos X  =  ───────────

2 . DE . EF

2 . p . r

10²  +  5²  −  14²

4,3²  +  4²  −  6²

=  ─────────────

=  ─────────────

2 . 10 . 5

2 . 4,3 . 4

=  −0,71

=  −0,043895...

skerphoek / acute angle =  44,76508....°

skerphoek / acute angle =  87,4841....°

∠E = 180°  −  44,76508...°

∠Q = 180°  −  87,4841...°

=  135,23°

=  92,52°

Opp. / Area  ΔABC  =  ½  .  AC  .  BC  .  sin C

Opp. / Area  ΔDEF  =  ½  .  DE  .  DF  .  sin D

=  ½  .  5  .  8  .  sin 35°

=  ½  .  18  .  24  .  sin 76°

=  11,472 cm²

=  209,584 cm²

Opp. / Area  ΔFGH  =  ½  .  h  .  f  .  sin G

Opp. / Area  ΔKLM  =  ½  .  m  .  l  .  sin K

=  ½  .  14,3  .  18,6  .  sin 141°

=  ½  .  3,1  .  5,2  .  sin 123°

=  83,693 cm²

=  6,760 cm²

Opp. / Area  ΔPQR  =  ½  .  p  .  r  .  sin Q

Opp. / Area  ΔXYZ  =  ½  .  x  .  y  .  sin Z

=  ½  .  8  .  5  .  sin 72°

=  ½  .  21,3  .  15,8  .  sin 48°

=  19,021 cm²

=  125,049 cm²

Gebruik die sinus-reël om 'n tweede sy,

Use the sine rule to calculate a second side,

bv. AC, b te bereken.

e.g. DE, f.

Bereken die derde hoek, ∠A

Calculate the third angle, ∠E

∠A = 180° − (∠B + ∠C)

∠E = 180° − (∠D + ∠F)

= 180° − (65° + 43°)

= 180° − (38° + 75°)

= 72°

= 67°

b

e

a

d

──────  =  ──────

──────  =  ──────

sin B

sin E

sin B

sin D

a sin B

d sin E

b  =  ───────

e  =  ───────

sin A

sin D

13 sin 65°

16 sin 67°

=  ───────

=  ───────

sin 72°

sin 38°

Moenie b bereken nie - doen dit in die

Do not calculate e - do that in the

finale berekening.

final calculation.

Bereken nou die oppervlakte.

Now calculate the area.

Opp. / Area  =  ½  .  b  .  a  .  sin C

Opp. / Area  =  ½  .  e  .  d  .  sin F

1 . 13 sin 65°  . 13 . sin 43°

1 . 16 sin 67°  . 16 . sin 75°

=  ──────────────────

=  ──────────────────

2 . sin 72°

2 . sin 38°

=  54,917 cm²

=  184,858 cm²

Gebruik die sinus-reël om 'n tweede sy,

Use the sine rule to calculate a second side,

bv. h te bereken.

e.g. k.

Bereken die derde hoek, ∠F

Calculate the third angle, ∠M

∠F = 180° − (∠G + ∠H)

∠M = 180° − (∠K + ∠L)

= 180° − (32° + 125°)

= 180° − (23° + 138°)

= 23°

= 19°

h

f

k

m

──────  =  ──────

──────  =  ──────

sin H

sin F

sin K

sin M

f sin H

m sin K

h  =  ───────

k  =  ───────

sin F

sin M

9,5 sin 125°

28,3 sin 23°

=  ───────

=  ───────

sin 23°

sin 19°

Moenie h bereken nie - doen dit in die

Do not calculate k - do that in the

finale berekening.

final calculation.

Bereken nou die oppervlakte.

Now calculate the area.

Opp. / Area  =  ½  .  h  .  f  .  sin G

Opp. / Area  =  ½  .  k  .  m  .  sin K

1 . 9,5 sin 125°  . 9,5 . sin 32°

1 . 28,3 sin 23°  . 28,3 . sin 138°

=  ─────────────────────

=  ──────────────────

2 . sin 23°

2 . sin 19°

=  50,132 cm²

=  321,581 cm²

Gebruik die oppervlakte-reël om die

Use the area rule to calculate the requested

gevraagde sy te bereken.

side.

Oppv. / Area  =    ½  .  q  .  r  .  sin P

Oppv. / Area  =    ½  .  x  .  y  .  sin Z

685  =    ½  .  q  .  54  .  sin 61°

9,5  =    ½  .  x  .  6  .  sin 27°

2 . 685

2 . 9,5

q  =  ─────────

x  =  ─────────

54 . sin 61°

6 . sin 27°

=  29

=  6,975

Gebruik die oppervlakte-reël om die

Use the area rule to calculate the requested

gevraagde sy te bereken.

side.

Oppv. / Area  =    ½  .  a  .  c  .  sin B

Oppv. / Area  =    ½  .  d  .  e  .  sin F

30,12  =    ½  .  9  .  c  .  sin 123,2°

168,53  =    ½  .  d  .  28  .  sin 28°

2 . 30,12

2 . 168,53,5

c  =  ─────────

d  =  ─────────

9 . sin 123,2°

28 . sin 28°

=  8,0

=  25,64

Gebruik die oppervlakte-reël om die

Use the area rule to calculate the requested

gevraagde hoek te bereken.

angle.

Oppv. / Area  =    ½  .  q  .  r  .  sin P

Oppv. / Area  =    ½  .  f  .  h  .  sin G

19  =    ½  .  8  .  5  .  sin P

83,7  =    ½  .  14  .  19  .  sin G

2 . 19

2 . 83,7

sin P  =  ──────

sin G  =  ───────

8 . 5

14 . 19

=  0,95

=  0,6293...

P  =  71,8°

G  =  39°

q

r

─────  =  ─────

g²  =  f²  +  h²  −  2 . f . h . cos x

sin x

sin y

r sin y

g  =  ──────

sin x

f

g

f²  =  g²  +  h²  −  2 . g . h . cos (180° − (x + y))

──────────────  =  ─────

sin (180° − (x + y))

sin x

=  g²  +  h²  −  2 . g . h . (− cos (x + y))

g sin (x + y)

=  g²  +  h²  +  2 . g . h . cos (x + y)

f  =  ──────────

sin x

A  =  ½ . f . h . sin x

A  =  ½ . f . h . sin (180° − (x + y))

=  ½ . f . h . sin (x + y)

A  =  ½ . f . h . sin x

A  =  ½ . f . h . sin (180° − (x + y))

2 A

=  ½ . f . h . sin (x + y)

f  =  ──────

h sin x

2 A

g  =  ────────

h sin (x + y)

sin x

sin y

──────  =  ─────

h²  =  f² + g² − 2 . f . g . cos y

g

h

g sin y

f² + g² − h²

sin x  =  ──────

cos y  =  ─────────

h

2fg

Gebruik die cos-reël maar omdat ons net iets

Use the cosine rule, but seeing that something

van ∠L weet, begin ons met KM²

of ∠L only is known, we start with KM²

KM²  =  KL²  +  LM²  −  2 . KL . LM . cos L

7²  =  5²  +  LM²  −  2 . 5 . LM . ½

LM²  −  5  .  LM  +  (25 − 49)  =  0      . . .   herrangskik  /  rearrange

LM²  −  5  .  LM  −  24  =  0

(LM  −  8)(LM  +  3)  =  0

LM  =  8   OF / OR   LM  =  − 3

LM  =  8   lengte is positief / length is positive

a . sin β

Beskou / Consider   :  MR  =  ──────────────

cos α . cos (θ − β)

a en α is elemente van ΔPQR terwyl β in

a and α are elements of ΔPQR while β is in

ΔPMR is en θ deel is van ∠PRN

ΔPMR and θ is part of ∠PRN

Skryf MR in terme van PR, sin ∠MPR

Express MR in terms of PR, sin ∠MPR

en sin ∠M

and sin ∠M

Bepaal eers die grootte van ∠M

First determine the size of ∠M

∠PRM = 90°  −  θ

∠M = 180°  −  (∠MPR  +  PRM)

= 180°  −  (β  + (90° − θ))

= 180°  −  β  − 90° + θ

= 90°  +  θ  −  β

Bepaal PR.  /  Determine PR.

QR

QR

In ΔPQR :  cos α  =  ────     sodat / so that  PR  =  ─────

PR

cos α

MR

PR

In ΔPMR :  ──────  =  ─────

sin MPR

sin M

PR . sin MPR

PR . sin β

MR  =  ──────────    =  ─────────────

sin β

sin (90° + (θ − β))

QR

sin β

=  ──────  ×  ─────────

cos α

cos (θ − β)

a . sin β

=  ──────────────

cos α . cos (θ − β)

8.1

Bereken AD in ΔAED. Bereken eers die groottte van elke hoek in ΔAED.  /

Calculate AD in ΔAED. First calculate the size of each angle in ΔAED.

∠AED = 90° + β,   ∠ADE = 90° − α,

∠EAD = 180° − (∠AED + ∠ADE)

= 180° − ((90° + β) + (90° − α))

= (α − β)

AD

DE

────────  =  ───────

sin ∠AED

sin ∠DAE

DE . sin (90° + β)

AD  =  ──────────────

sin (α − β)

a . cos β

=  ─────────

sin (α − β)

8.2

Bereken AC in ΔACD.  /  Calculate AD in ΔACD.

AC

AD

────────  =  ───────

sin ∠ADC

sin ∠ACD

AD . sin α

AC  =  ────────────

sin (180° − θ)

a . cos β

sin α

=  ──────── ×   ──────

sin (α − β)

sin θ

a . cos β . sin α

=  ─────────────

sin (α − β) . sin θ

sin R

sin P

────────  =  ───────

PQ

RQ

PQ . sin P

sin R  =  ────────

RQ

2x . sin (90° − θ)

sin α  =  ─────────────

x

─────

sin θ

2x . cos θ

sin θ

=  ────────  ×  ─────

1

x

=  2 . cos θ . sin θ

DB

In ΔDBC :   ────  =  tan DBC

BC

h

────  =  tan α

BC

h

BC  =  ────

tan α

AB

In ΔABC :   ────  =  tan ABC

BC

AB

k + h

BC  =  ────   =   ────

tan β

tan β

k + h

h

────   =   ────

tan β

tan α

k . tan α  +  h . tan α  =  h . tan β

k . tan α  =  h . tan β  −  h . tan α

=  h(tan β − tan α)

∠K  =  180° − (∠L + ∠M)

=  180° − (α + β)

LM

KL

────  =  ────

sin K

sin M

KL . sin (180° − (α + β))

LM  =  ─────────────────

sin β

x

sin (α + β)

=  ─────   ×   ─────────

sin θ

sin β

x . sin (α + β)

=  ──────────

sin θ . sin β

DB

12.1

In ΔDBC  :   ─────  =  tan ∠DCB

BC

DB  =  BC . tan ∠DCB

=  x . tan α

12.2

In ΔABD  :   AD²  =  AB²  +  DB²  −  2 . AB . DB . cos ∠ABD

=  x²  +  (x . tan α)²  −  2 . x . x . tan α . cos β

=  x²  +  x² . tan² α  −  2 . x² . tan α . cos β

=  x²(1  +  tan² α  −  2 . tan α . cos β)

13.1

In ΔLMN  :   LM²  =  LN²  +  NM²  −  2 . LN . NM . cos ∠N

=  10²  +  6²  −  2 . 10 . 6 . cos 120°

=  136  +  60

=  196

LM  =  14 cm

sin ∠K

sin ∠KML

13.2

In ΔKLM  :   ──────  =  ──────

LM

KL

LM . sin ∠KML

sin ∠K  =  ───────────

KL

14 . sin 38,1°

=  ───────────

10

=  0,8638....

∠K = 59,75°

13.3

In ΔKLM  :  ∠KLM  =  180° − (∠K + ∠KML)

=  180° − (59,75° + 38,1°)

=  82,15°

Oppervlakte / Area  KLNM  =  Oppervlakte / Area ΔKLM  +  Oppervlakte / Area ΔLNM

=  ½ . KL . LM . sin ∠KLM  +  ½ . LN . NM . sin ∠N  cm²

=  ½ . 10 . 14 . sin 82,15°  +  ½ . 10 . 6 . sin 120°  cm²

=  95,325 cm²