Die hoek tussen 'n raaklyn aan 'n sirkel en die koord deur die raakpunt is gelyk aan die hoek in die oorstaande segment van die sirkel.

The angle between the tangent to a circle and the chord through the poin of contact is equal to the angle in the opposite segment of the circle..

1.1

∠PQT  =  ∠QVT

1.2

∠PQV  =  ∠QSV

1.3

∠QVS  =  ∠SQR

1.4

∠QSV  =  ∠PQV

2.1

∠OBC  =  90°        (raaklyn ⊥ radius  /  tangent ⊥ radius)

∠OBD  =  90°  −  ∠DBC

=  90°  −  34°

=  56°

∠OBD  =  ∠ODB        (OB = OD)

∠BOD  =  180°  −  (∠OBD + ∠ODB)        (hoeke van ΔBOD  /  angles of ΔBOD)

=  180°  −  (56° + 56°)

=  68°

2.2

∠BOD  =  2 × ∠BED      (midpts. ∠ = 2 × omtreks ∠  /  ∠  at centre = 2 × ∠  at circumference)

∠BED  =  ½ × 68°

=  34°

∠ABD  =  ∠DAE        (raaklyn AE, koord AD  /  tan AE, chord AD)

=  38°

∠BDC  =  ∠CBF        (raaklyn / tangent BF,  koord / chord BC)

=  50°

∠BAD  =  ∠DBF        (raaklyn / tangent BF,  koord / chord BD)

=  (50° + 22°)  =  72°

∠BDA  =  180°  −  (∠ABD + ∠BAD)        (binne ∠'e van / interior ∠'s of ΔABD)

=  180° − (38° + 72°)  =  70°

∠BCD  =  180°  −  (∠CBD + ∠BDC)        (binne ∠'e van / interior ∠'s of ΔBCD)

=  180° − (22° + 50°)  =  108°

∠BAD  =  72°

∠ABC  =  ∠ABD + ∠DBC  =  38° + 22°  =  60°

∠BCD  =  108°

∠ADC  =  ∠ADC + ∠ADB  =  50° + 70°  =  120°

AP  =  AQ        (raaklyne vanaf A  /  tangents from A)

∠APQ  =  ∠AQP

∠A + ∠APQ + ∠AQP  =  180°         (som van binne ∠'e / sum of interior ∠'s van/of ΔAPQ)

50° + 2 × ∠APQ  =  180°

2 × ∠APQ  =  180°  −  50°  =  130°

∠APQ  =  65°

∠PRQ  =  ∠APQ         (raaklyn / tangent APB, koord / chord PQ)

=  65°

∠CRQ  =  ∠CQR         (CR = CQ,  raaklyne vanaf C  /  tangents from C)

∠C + ∠CRQ + ∠CQR  =  180°         (som van binne ∠'e / sum of interior ∠'s van/of ΔQRC)

48° + 2 × ∠CRQ  =  180°

2 × ∠CRQ  =  180°  −  48°  =  132°

∠CRQ  =  66°

∠RPQ  =  ∠QRC         (raaklyn / tangent BRC, koord / chord RQ)

=  66°

∠RPQ + ∠PQR + ∠PRQ  =  180°         (som van binne ∠'e / sum of interior ∠'s van/of ΔPQR)

66° + ∠PQR + 65°  =  180°

∠PQR  =  180° − (65° + 66°)

=  49°

∠RPQ = 66°,  ∠PQR = 49°  en / and  ∠PRQ  =  65°

∠C  =  ∠ABE        (ooreenk. ∠'e, BE || CD  /  corresp. ∠'s, BE || CD)

∠BDE  =  ∠ABE        (raaklyn / tangent ABC,  koord / chord BE)

∴  ∠DCB  =  ∠BDE        (albei / both  = ∠ABE ABC)

OF  /  OR

Probeer die algebraïese metode. Hierdie metode is baie nuttig as die verband tussen hoeke

moet word. /

Try the algebraic method. This method is very useful when the relation between angles have

to be proved.

Gestel / Let  ∠ABE  =  x

∠C  =  ∠ABE        (ooreenk. ∠'e, BE || CD  /  corresp. ∠'s, BE || CD)

∠C  =  x

∠BDE  =  ∠ABE        (raaklyn / tangent ABC,  koord / chord BE)

∠BDE  =  x

∴  ∠DCB  =  ∠BDE        (albei / both  = ∠x)

Gebruik weer die algebraïese metode.  /  Use the algebraic method again.

Gestel / Let  ∠FAD  =  x  en / and  ∠EBD  =  y

∠D = ∠FAD        (verwis. ∠'e / alt. ∠'s, FA || BCD)

= x

∠ABE = ∠FAD        (raaklyn / tangent FA, koord / chord AE)

= x

∠AEB = ∠EBD + ∠EDB        (buitehk. / ext. ∠ ΔEBD)

= y + x

∠ABD = ∠EBD + ∠ABE        (buitehk. / ext. ∠ ΔEBD)

= y + x

∴  ∠AEB = ∠ABD        (albei / both = x + y)

Gebruik weer die algebraïese metode.  /  Use the algebraic method again.

Gestel / Let  ∠BCD  =  y

∠A = ∠BCD        (raaklyn / tangent CD, koord / chord BC)

= y

∠CBD = ∠ACB + ∠CAB        (buitehoek / ext. angle ΔCAB)

= x + y

∠CBA = ∠D + ∠BCD        (buitehk. / ext. ∠ ΔCBD)

= x + y

∠CBA = ∠CAD         (albe / both = x + y)

∠CBA + ∠CBD = 180°        (ABD 'n rt. lyn  /  a str. line)

2 × ∠CBA  = 180°        (∠CBA = ∠CBD)

∠CBA  = 90°

∴  AC is 'n middellyn.  /  AC is a diameter.        (∠ in  halwe sirkel. / semi-circle)

Gestel / Let  ∠KLN  =  x  en / and  ∠NLM = y

∴  ∠KLM = x + y

KL = KM        (raaklyne vanaf dies. punt  /  tangents from the same point)

∠KLM = ∠KML        (KL = KM)

= x + y

∠KLM = ∠P        (raaklyn / tangent KL, koord / chord LM)

= x + y

∠K + ∠KLM + ∠KML  =  180°        (som van binnehoeke / sum of int. angles 0f ΔKLM)

∠K  =  180°  −  (∠KLM + ∠KML)

=  180°  −  2 (x + y)

KL is verleng na Q  /  KL is produced to Q.

∠QLM  =  ∠N        (raaklyn / tangent KLQ, koord / chord LM)

∠QLM + ∠KLM  =  180°        (KLQ 'n rt. lyn. / KLQ a str. line.)

∠QLM + (x + y)  =  180°

∠QLM  =  180° − (x + y)

∠N  =  180° − (x + y)

∠K  =  180°  −  2 (x + y)

=  180°  −  (x + y)  −  (x + y)

=  ∠N  −  ∠P

∠BPR = 70°  −  20°

=  50°

∠PBR = ∠R        (PB = PR  gegee / given)

∠BPR + ∠PBR + ∠R  = 180°        (binnehoeke van ΔPBR  /  int. angles of ΔPBR)

2 ∠PBR  = (180° − ∠BPR)

∠PBR  = (180° − 50°) / 2

= 65°

∠PQR + ∠QPR + ∠PRQ  = 180°        (binnehoeke / int. angles  ΔPQR)

∠PQR  =  180° − (∠QPR + ∠PRQ)

=  180° − (70° + 65°)

=  45°

∠ABP  =  ∠Q        (raaklyn / tangent PB, koord / chord AB)

=  45°

10.1

∠DOB = 2 × ∠DAB        (hoek by midpt. = 2 omtrekshoek / angle at centre = 2 angle at circle)

∠DAB = 112° / 2  =  56°

∠BAC = ∠CAD        (boog / arc BC = boog / arc CD (gegee / given))

∠BAC = ½ ∠DAB

= ½ × 56°

= 28°

∠BAS = 28°

10.2

∠ADE = ∠DAC          (verwis. ∠'e, / alt. ∠'s,  DE || CA)

= ∠BAC          (10.1)

= 28°

11.1

∠DAB = ∠ABE        (verwis. ∠'e, / alt. ∠'s,  AD || EB)

∠ACB = ∠ABE        (raaklyn / tangent BE,  koord / chord AB)

∠CAD = ∠DAB        (DA halveer / bisects ∠CAB)

∠ADB = ∠ABE        (raaklyn / tangent BE,  koord / chord AB)

∠DCB = ∠DAB        (onderspan deur koord / subtandedn by chord DB)

∠CBD = ∠CAD        (onderspan deur koord / subtandedn by chord CD)

∠AEB = ∠CAD        (ooreenk. ∠'e, / corresponding ∠'s,  AD || EB)

∴  ∠ABE = x = ∠DAB = ∠ACB = ∠CAD = ∠ADB = ∠DCB = ∠CBD = ∠AEB

11.2.1

∠DCB = x = ∠CAD        (11.1)

Maar ∠DCB is die hoek tussen die lyn(CD) deur die punt(C) op die sirkel(FAC) en

is gelyk aan die hoek in die teenoorstaande segment(∠CAD) sodat CD 'n raaklyn

aan sirkel FAC is.

But ∠DCB is the angle between the line(CD) through the point(C) on the circle(FAC) and

is equal to the angle in the alternate segment (∠CAD) so that CD is a

tangent to the circle FAC.

11.2.2

ADBE is 'n parallelogram as AD || BE en

ADBE is a parallelogram if AD || BE and

DB || AE. Maar AD || BE (gegee), bewys dus

DB || AE. But AD || BE (given), therefore prove

dat DB || AE.

that DB || AE.

∠DAC = x = ∠ADB        (11.1)

Maar hulle is verwisselende hoeke.  /  But the are alternate angles.

∴  CAE || DB  en dus is / and therefore AD || en / and AE || DB

∴  ADBE is 'n / a parallelogram        (pare oorstaande sye ewewydig / opposite pairs of sides ||)

12.1

∠C = ∠PAB        (raaklyn / tangent PB,  koord / chord AB.)

= ∠PBA        (PA = PB,  raaklyne vanaf dies. punt  /  tangents from same point)

12.2

∠ABC = 90°        (&ang. in halwe sirkel, middellyn AC  /  ∠ in semi-circle, AC a diameter)

∴  ∠ABK = 90°        (CBK 'n rt. lyn  /  ∠ a str. line)

∠K + ∠KAB + ∠KBA  = 180°        (binnehoeke ΔABK  /  int. ∠'s of ΔABK)

= 190° − x

12.3

∠PBK = 90° − ∠ABP

= 90° − x

= ∠K        (12.2)

∴  PB = PK        (basis hoeke gelyk / base angles equal)

∴  PA = PK        (albei / both = PB)

13.1.1

∠PQT = ∠PRQ        (raaklyn / tangent TQ,  koord / chord PQ.)

= ∠PQR        (PQ = PR,  gegee given)

= ∠QRA        (verwis. ∠'e / alt. ∠'s,  SA || PQ)

∴  ∠QRA = x

13.1.2

∠PSR + ∠PQR = 180°        (teenoorst. ∠'e van kvh. PQRS  /  opp. ∠'s of cyclic quad. PQRS)

∠PSR  = 180° − x      (∠PQR = x  13.1.1)

13.2

y = ∠RQA = ∠QPR         (raaklyn / tangent TQA,  koord / chord QR.)

= ∠PRS        (verwis. ∠'e  /  alt. ∠'s,  SA || PQ)

= ∠SPR        (SP = SR /  gegee / given)

13.3

∠TQA = 180°         (TQA 'n lyn / a str. line)

∠S + ∠SPR + ∠SRP = 180°         (binnehoeke / int' ∠'s,  ΔSPR)

180° − x + 2y = 180°    (2)         (binnehoeke / int' ∠'s,  ΔSPR)

2x + y = 180°    (1)         (TQA 'n rt. lyn / a str. line)

2y − x = 0°    (2)         (binnehoeke / int' ∠'s,  ΔSPR)

2  ×  (2) :   4y − 2x = 0°    (3)

(1)  +  (3) :       5y  = 180°

y  = 36°

In / Into  (1) :  2x + 36° = 180°

2x  = 144°

x  = 72°

∴  x  = 72° en / and  y = 36°