WISKUNDE
GRAAD 12
NOG OEFENINGE
  
Afgeleides - gebruik die reëls : antwoorde.
  
  
MATHEMATICS
GRADE 12
MORE EXERCISES
  
Derivatives - use the rules : answers.
  
  

Vraag / Question  1 


             dy
     1.1  ─── =  (3)x3 − 1
             dx
  
                     =  3x2                                           V/Q. 1.1
  

             dy
     1.3  ─── =  (7)x7 − 1  +  (3)x3 − 1
             dx
  
                     =  7x6  +  3x2                                V/Q. 1.3
  

             dy
     1.5  ─── =  (4)x4 − 1  −  (2)x2 − 1
             dx
  
                     =  4x3  −  2x                                 V/Q. 1.5
  

             dy
     1.7  ─── =  2(3)x3 − 1  +  3(2)x2 − 1
             dx
  
                     =  6x2  +  6x                                 V/Q. 1.7
  

             dy
     1.9  ─── =  5(4)x4 − 1  −  4(3)x3 − 1  +  8(1)x1 − 1
             dx
  
                     =  20x3  −  12x2  +  8                   V/Q. 1.9
  

                dy
     1.11  ─── =  7(3)x2  −  3(2)x  +  2(1)
                dx
  
                     =  21x2  −  6x  +  2                    V/Q. 1.11
  

                       __
     1.13  y =  √x   =  x1/2
  
  
                dy
              ─── =  (½)x½ − 1    =  ½x−½  
                dx
  
                            1
                     =  ───                                     V/Q. 1.13
                          2√x
  

                       ___
     1.15  y =  √2x3   =  √2 × x3/2
  
  
                dy        √2     3                          3√2
              ─── =  ── × ─ ×  x3/2 − 1    =  ─── × x½  
                dx         1      2                            2
  
                                  ___
  
                              3√2x
                       =  ──────                            V/Q. 1.15
                                2
  

                      4
     1.17  y =  ──   =  4x−1
                      x
  
                dy
              ─── =  4(−1)x−2    =  −4 x−2
                dx
  
                                   4
                       =  ─  ───                              V/Q. 1.17
                                  x2
  

                      6
     1.19  y =  ──   =  6x−3
                      x3
  
                dy
              ─── =  6(−3)x−4    =  −18 x−4
                dx
  
                                 18
                       =  ─  ───                              V/Q. 1.19
                                 x4

                      x6         x4
     1.21  y =  ──  ─  ──
                      9          8
  
                dy         1        6                    1        4
              ─── =  ── ×  ── × x5   ─   ── ×  ── × x3
                dx         9        1                    8        1
  
                             2x5          x3
                       =  ───  ─  ───                     V/Q. 1.21
                              3            2

                      x5         2x3
     1.23  y =  ──  ─  ──
                     15          6
  
                dy         1        5                    2        3
              ─── =  ── ×  ── × x4   ─   ── ×  ── × x2
                dx        15       1                    6        1
  
                              x4
                       =  ───  ─  x2                         V/Q. 1.23
                              3

                        3
     1.25  y =  ───   =  3x−1/2
                      √x
  
                dy
              ─── =  3(−½)x−3/2    =  −(3/2) x−3/2
                dx
  
                                   3
                       =  ─  ───                              V/Q. 1.25
                                2√x3
  

                       −3
     1.27  y =  ───  −    x10     =  ─  3x−½   −  x10
                       √x
  
                dy
              ─── =  ─3(−½)x−3/2    ─   10x9
                dx
  
                              3
                       =  ───   −  10x9                     V/Q. 1.27
                            2√x3
  

                          ___
                      √3x4         5
     1.29  y =  ───  −  ───      =  ⅓(3x4)½   −  (5/3)x−5
                        3          3x5
  
                dy
              ─── =   ⅓(3½)(2)x1    ─   (5/3)(−5)x−6
                dx
  
                              2√3 x            25
                       =   ─────   +  ───              V/Q. 1.29
                                3                3x6
  
  

                       √x  −  4
     1.31  y =  ──────      =  1   −  4x−½
                           √x
  
                dy
              ─── =   0    ─   4(−½)x−3/2
                dx
  
                                2
                       =   ────                                V/Q. 1.31
                              √x3
  
  

                       3x  +  8
     1.33  y =  ──────      =  3x½   +  8x−½
                           √x
  
                dy
              ─── =   3(½)x−½    +   8(−½)x−3/2
                dx
  
                                3                 4
                       =   ────   −   ────             V/Q. 1.33
                              2√x             √x3
  
  

                       x2  −  3x  −  2
     1.35  y =  ──────      =  ½x  −  (3/2)   −  x−1
                           2x
  
                dy
              ─── =   ½(1)x0    −   0   −   (−1)x−2
                dx
  
                              1                1
                       =   ───   +   ────
                              2               x2
  
                                                                      V/Q. 1.35

     1.37  y =  (x − 1)(x + 5)    =  x2  +  4x  −  5
  
                dy
              ─── =  (2)x1 + 4(1)x0 − 0
                dx
  
                       =   2x + 4                                 V/Q. 1.37
  

     1.39  y =  (2x + 1)(x + 3)    =  2x2  +  7x  +  3
  
                dy
              ─── =  2(2)x1 + 7(1)x0 − 0
                dx
  
                       =   4x + 7                                V/Q. 1.39
  

     1.41  y =  (2x + 3)(4x + 5)    =  8x2  +  22x  +  15
  
                dy
              ─── =  8(2)x1 + 22(1)x0 − 0
                dx
  
                       =   16x + 22                            V/Q. 1.41
  

     1.43  y =  (x + 2)2    =  x2  +  4x  +  4
  
                dy
              ─── =  (2)x1 + 4(1)x0 − 0
                dx
  
                       =   2x + 4                                V/Q. 1.43
  

     1.45  y =  (x + 4)2    =  x2  +  8x  +  16
  
                dy
              ─── =  (2)x1 + 8(1)x0 − 0
                dx
  
                       =   2x + 8                                 V/Q. 1.45
  

     1.47  y =  (2x3 − 3)(3x4 + 3)    =  6x7  −  9x4  +  6x3  −  9
  
                dy
              ─── =  6(7)x6 − 9(4)x3 + 6(3)x2  − 0
                dx
  
                       =   42x6 − 36x2 + 18x2            V/Q. 1.47
  

     1.49  y =  (x − 3)(x + 2)(x + 5)    =  x3  +  4x2  −  11x  −  30
  
                dy
              ─── =  (3)x2 − 4(2)x − 11(1)x0  − 0
                dx
  
                       =   3x2 − 8x − 11                     V/Q. 1.49
  

                       6x5 + 4x3 − 8x2 + 10x
     1.51  y =  ────────────────
                                         2x
  
                 =  3x4 + 2x2 − 4x  +  5            x ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  3(4)x3 + 2(2)x1 − 4
                dx
  
                       =   12x3 + 4x − 4                    V/Q. 1.51

                       2x4 − 8x3 + 4x2
     1.53  y =  ───────────
                                 2x2
  
                 =  x2 − 4x + 2            x ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  (2)x1 − (4)x0 − 0
                dx
  
                       =   2x − 4                                V/Q. 1.53

                        x2  −  9
    1.55  y =  ───────
                         x  +  3
  
                     (x − 3)(x + 3)
                =  ─────────
                           x  +  3
  
                 =  x  −  3                  (x + 3)  ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  x0 − 0
                dx
  
                       =   1                                         V/Q. 1.55

                     x2  −  25
    1.57  y =  ──────
                      x  +  5
  
                     (x − 5)(x + 5)
                =  ─────────
                           x  +  5
  
                 =  x  −  5                  (x + 5)  ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  x0 − 0
                dx
  
                       =   1                                         V/Q. 1.57

                      9x2  −  25
    1.59  y =  ────────
                      3x  −  5
  
                     (3x − 5)(3x + 5)
                =  ─────────
                           3x  −  5
  
                 =  3x  +  5                  (3x − 5)  ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  3(1)x0 − 0
                dx
  
                       =   3                                         V/Q. 1.59

                       x2  −  8x  +  12
    1.61  y =  ───────────
                      x  −  2
  
                     (x − 2)(x − 6)
                =  ─────────
                           x  −  2
  
                 =  x  −  6                  (x − 2)  ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  1x0 − 0
                dx
  
                       =   1                                        V/Q. 1.61

                       x2  −  8x  +  15
    1.63  y =  ───────────
                             x  −  5
  
                     (x − 3)(x − 5)
                =  ─────────
                           x  −  5
  
                 =  x  −  3                  (x − 5)  ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  1x0 − 0
                dx
  
                       =   1                                         V/Q. 1.63

                       4x2  +  8x  +  3
    1.65  y =  ───────────
                             2x  +  5
  
                     (2x + 1)(2x + 3)
                =  ─────────
                           2x  +  1
  
                 =  2x  +  3                  (2x + 1)  ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  2(1)x0 + 0
                dx
  
                       =   2                                         V/Q. 1.65

             dy
    1.2  ─── =  (8)x8 − 1
             dx
  
                     =  8x7                                           V/Q. 1.2
  

             dy
     1.4  ─── =  (5)x5 − 1  +  (2)x2 − 1
             dx
  
                     =  5x4  +  2x                                 V/Q. 1.4
  

             dy
     1.6  ─── =  (3)x3 − 1  −  3(2)x2 − 1
             dx
  
                     =  3x2  −  6x                                 V/Q. 1.6
  

             dy
     1.8  ─── =  4(5)x5 − 1  −  2(3)x3 − 1
             dx
  
                     =  20x4  −  6x2                        V/Q. 1.8
  

                dy
     1.10  ─── =  4(5)x5 − 1  −  2(3)x3 − 1
                dx
  
                     =  20x4  −  6x2                        V/Q. 1.10
  

                dy
     1.12  ─── =  4(3)x2  −  3(2)x  +  2(1)
                dx
  
                     =  12x2  −  6x  +  2                       V/Q. 1.12
  

                       ___
     1.14  y =  √4x3   =  √4 × x3/2
  
  
                dy        2    3
              ─── =  ─ × ─ ×  x3/2 − 1    =  3x½  
                dx        1    2
  
  
                       =  3√x                                          V/Q. 1.14
  
  

                       ___
     1.16  y =  √3x5   =  √3 × x5/2
  
  
                dy        √3     5
              ─── =  ── × ─ ×  x5/2 − 1    =  5(√3)x3/2  
                dx         1      2
  
                              ___
                       =  5√3x3                                       V/Q. 1.16
  
  

                      8
     1.18  y =  ──   =  8x−2
                      x2
  
                dy
              ─── =  8(−2)x−3    =  −16 x−3
                dx
  
                                 16
                       =  ─  ───                                   V/Q. 1.18
                                  x3
  

                      7
     1.20  y =  ──   =  7x−5
                      x5
  
                dy
              ─── =  7(−5)x−6    =  −35 x−6
                dx
  
                                 35
                       =  ─  ───                                   V/Q. 1.20
                                  x6
  

                      x3         x2
     1.22  y =  ──  ─  ──
                      4          6
  
                dy         1        3                    1        2
              ─── =  ── ×  ── × x3   ─   ── ×  ── × x
                dx         4        1                    6         1
  
                             3x3          x
                       =  ───  ─  ───                         V/Q. 1.22
                              4            3

                      3x4      5x3
     1.24  y =  ──  ─  ──
                       2          3
  
                dy         3        4                    5        3
              ─── =  ── ×  ── × x3   ─   ── ×  ── × x2
                dx         2        1                    3         1
  
  
                       =  6x3  ─  5x2                               V/Q. 1.24
  

                        1
     1.26  y =  ───   =  ½x−1/2
                      2√x
  
                dy
              ─── =  ½(−½)x−3/2    =  −¼ x−3/2
                dx
  
                                   1
                       =  ─  ───                                   V/Q. 1.26
                                4√x3
  

                       √x           1
     1.28  y =  ───  −  ───     =  ⅓x½   −  (1/7)x−4
                        3           7x4
  
                dy
              ─── =  ⅓(½)x−½    ─   (1/7)(−4)x−5
                dx
  
                                   1             4
                       =  ─  ───   +  ───                    V/Q. 1.28
                                6√x           7x5
  

                         ___
                       √x5           9
     1.30  y =  ───  −  ───     =  2x5/2   −  (9/8)x−6
                        0,5           8x6
  
                dy
              ─── =  2(5/2)x3/2    ─   (9/8)(−6)x−7
                dx
  
                                             27
                       =   5√x3   +  ───                       V/Q. 1.30
                                            4x7
  

                        4              x2
     1.32  y =  ───   ─   ───     =  4x−½   −  (1/9)x2
                      √x              9
  
                dy
              ─── =  4(−½)x−3/2 − (1/9)(2)x1
                dx
  
                               2             2x
                       =   ───   −   ───                       V/Q. 1.32
                             √x3            9
  

                        x3             6
     1.34  y =  ───   ─   ───     =  (1/6)x3   −  x−2
                        6              x2
  
                dy
              ─── =  (1/6)(3)x2 − (−2)x−3
                dx
  
                                              2
                       =   ½x2   +   ───                        V/Q. 1.34
                                              x3
  

                       1  −  2x  +  √x
     1.36  y =  ──────────      =  x−2  −  2x−1   +  x−3/2
                                 x2
  
                dy
              ─── =   (−2)x−3    −   2(−1)x−2   +   (−3/2)x−5/2
                dx
  
                                  2                2                3
                       =   ─ ───   +   ────   −   ────
                                  x3              x2              2√x5
  
                                                                             V/Q. 1.36

     1.38  y =  (x − 3)(x + 2)    =  x2  −  x  −  6
  
                dy
              ─── =  (2)x1 − (1)x0 − 0
                dx
  
                       =   2x − 1                                    V/Q. 1.38
  

     1.40  y =  (3x − 4)(x + 5)    =  3x2  +  11x  −  20
  
                dy
              ─── =  3(2)x1 + 11(1)x0 − 0
                dx
  
                       =   6x + 11                                  V/Q. 1.40
  

     1.42  y =  (2x − 3)(5x + 2)    =  10x2  −  11x  −  6
  
                dy
              ─── =  10(2)x1 − 11(1)x0 − 0
                dx
  
                       =   20x − 11                                V/Q. 1.42
  

     1.44  y =  (x − 3)2    =  x2  −  6x  +  9
  
                dy
              ─── =  (2)x1 − 6(1)x0 + 0
                dx
  
                       =   2x − 6                                     V/Q. 1.44
  

     1.46  y =  (3x + 2)2    =  9x2  +  12x  +  4
  
                dy
              ─── =  9(2)x1 + 12(1)x0 + 0
                dx
  
                       =   18x + 12                                V/Q. 1.46
  

     1.48  y =  (4x2 − 5)(3x4 + 4)    =  12x6  −  15x4  +  16x2  −  20
  
                dy
              ─── =  12(6)x5 − 15(4)x3 + 16(2)x1 − 0
                dx
  
                       =   72x5 − 60x3 + 32x                 V/Q. 1.48
  

     1.50  y =  (3x3 − 7)(5x4 + 3)    =  15x7  −  35x4  +  9x3  −  21
  
                dy
              ─── =  15(7)x6 − 35(4)x3 + 9(3)x2 − 0
                dx
  
                       =   105x6 − 140x3 + 27x2           V/Q. 1.50
  

                       9x7 − 18x5 + 6x3 − 24x
     1.52  y =  ──────────────── 
                                         3x
  
                 =  3x6 − 6x4 + 2x2 − 8              x ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  3(6)x5 − 6(4)x3 + 2(2)x
                dx
  
                       =   18x5 − 24x3 + 4x;                 V/Q. 1.52

                        4x3 + 8x2 − 12x
     1.54  y =  ──────────── 
                                    4x
  
                   =  x2 + 2x − 3              x ≠ 0
  
  
                dy
              ─── =  (2)x1 + (2)x0 + 0
                dx
  
                       =   2x + 2                                    V/Q. 1.54
  

                      x2  −  16
    1.56  y =  ───────
                        x  −  4
  
                     (x − 4)(x + 4)
                =  ─────────
                           x  −  4
  
                 =  x  +  4                  (x − 4)  ≠ 0
  
  
             dy
           ─── =  x0 + 0
             dx
  
                    =   1                                                V/Q. 1.56

                      4x2  −  9
    1.58  y =  ───────
                        2x  −  3
  
                     (2x − 3)(2x + 3)
                =  ─────────
                           2x  −  3
  
                 =  2x  +  3                  (2x − 3)  ≠ 0
  
  
             dy
           ─── =  2x0 + 0
             dx
  
                    =   2                                               V/Q. 1.58

                       25x2  −  16
    1.60  y =  ─────────
                        5x  +  4
  
                     (5x − 4)(5x + 4)
                =  ─────────
                           5x  +  4
  
                 =  5x  −  4                  (5x + 4)  ≠ 0
  
  
             dy
           ─── =  5x0 + 0
             dx
  
                    =   5                                                V/Q. 1.60

                      x2  +  5x  +  6
    1.62  y =  ──────────
                        x  +  2
  
                     (x + 2)(x + 3)
                =  ─────────
                           x  +  2
  
                 =  x  +  3                  (x + 2)  ≠ 0
  
  
             dy
           ─── =  x0 + 0
             dx
  
                    =   1                                               V/Q. 1.62

                      x2  −  6x  −  7
    1.64  y =  ──────────
                        x  +  1
  
                     (x − 7)(x + 1)
                =  ─────────
                           x  +  1
  
                 =  x  −  7                  (x + 1)  ≠ 0
  
  
             dy
           ─── =  x0 + 0
             dx
  
                    =   1                                               V/Q. 1.64

                      6x2  −  7x  −  5
    1.66  y =  ───────────
                        5  −  3x
  
                      (3x − 5)(2x + 1)
                =  ───────────
                        −(3x  −  5)
  
                 =  −2x  −  1                  (3x − 5)  ≠ 0
  
  
             dy
           ─── =  −2x0 − 0
             dx
  
                    =   −2                                            V/Q. 1.66

Antwoorde / Answers  2 

     

     2.1  f(x) =  x4
  
            f'(x) =  4x3                                            V/Q. 2.1

     2.3  f(x) =  3x4  +  1
  
             f'(x) =  4(3)x3    =  12x3                       V/Q. 2.3

     2.5  f(x) =  3x6  +  2x3  −  9x  −  4
  
            f'(x) =  18x5 + 6x2 − 9                          V/Q. 2.5

     2.7  f(x) =  √(3x)
  
                  =  √3 × x½
  
            f'(x) =  (√3)(½)x−½
  
                         √3
                   =  ───                                          V/Q. 2.7
                        2√x

                         8
     2.9  f(x) =  ───         =  8 x−2
                        x2
  
            f'(x) =  (8)(−2)x−3
  
                              16
                   =  ─  ───                                     V/Q. 2.9
                              x3
  

                           6
     2.11  f(x) =  ───         =  6x−3
                           x3
  
            f'(x) =  (6)(−3)x−4
  
                              18
                   =  ─  ───                                     V/Q. 2.11
                              x4
  

                           1
     2.13  f(x) =  ───         =  ½x−½
                         2√x
  
            f'(x) =  (½)(−½)x−3/2
  
                               1
                   =  ─  ───                                    V/Q. 2.13
                            4√x3
  

                           4√x  −  x
     2.15  f(x) =  ───────         =  4  −  x½
                                 √x
  
            f'(x) =  0  −  (½)x−½
  
                               1
                   =  ─  ───                                    V/Q. 2.15
                              √x
  
  
  
  

                           1
     2.17  f(x) =  ───  +  √x         =  x−½  +  x½
                         √x
  
            f'(x) =  (−½)x−3/2  +  (½)x−½
  
                               1               1
                   =  ─  ───    +   ───                    V/Q. 2.17
                            2√x3          2√x
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

     2.19  f(x) =  (x − 6)2
  
                     =  x2  −  12x  +  36
  
            f'(x) =  2x  −  12                                    V/Q. 2.19

     2.21  f(x) =  (2x − 3)2
  
                     =  4x2  −  12x  +  9
  
            f'(x) =  8x  −  12                                   V/Q. 2.21

     2.23  f(x) =  (4x + 3)3
  
                     =  16x2  +  24x  +  9
  
            f'(x) =  32x  +  24                                 V/Q. 2.23
  
  
  

  
                          x3 − 4x2 − 3x  + 18
     2.25  f(x) =  ─────────────
                                   x  +  2
  
                          (x + 2)(x2 − 6x + 9)
                    =  ─────────────
                                   x  +  2
                    =  x2  −  6x  +  9
  
               f'(x) =  2x  −  6                                          V/Q. 2.25
     

     2.2  f(x) =  2x3
  
            f'(x) =  6x2                                            V/Q. 2.2

     2.4  f(x) =  2x5  −  6
  
             f'(x) =  2(5)x4    =  10x4                       V/Q. 2.4

     2.6  f(x) =  x5  +  4x3  −  7x2  −  6x  +  12
  
            f'(x) =  5x4 + 12x2 − 14x − 6                V/Q. 2.6

     2.8  f(x) =  √x3
  
                  =  x3/2
  
            f'(x) =  (3/2)x½
  
                         3√x
                   =  ───                                          V/Q. 2.8
                          2

                          3
     2.10  f(x) =  ───      =  (3/2)x−3
                         2x3
  
             f'(x) =  (3/2)(−3)x−2
  
                                 9
                    =  ─  ────                                 V/Q. 2.10
                               2x2

                           3
     2.12  f(x) =  ───       =  3x−½
                          √x
  
             f'(x) =  3(−½)x−3/2
  
                                 3
                    =  ─  ────                                  V/Q. 2.12
                              2√x3
  
  

                           −3
     2.14  f(x) =  ───  −  x10   =  −3x−½  −  x10
                          √x
  
             f'(x) =  −3(−½)x−3/2  −  10x9
  
                             3
                    =  ────  −  10x9                         V/Q. 2.14
                          2√x3

                          2  −  x
     2.16  f(x) =  ─────  −  ∛x    = (2/5)x−½ − (1/5)x½  − x⅓
                            5√x
  
               f'(x) =  (2/5)(−½)x−3/2  −  (1/5)(½)x−½  −  ⅓x(−⅔)
  
                      =  ─ (⅕)x−3/2  −  (1/10)x−½  −  (⅓)x−⅔
  
                                1          1              1
                      = ─ ─── ─ ───  ─  ────      V/Q. 2.16
                             5√x3     10√x      3 ∛(x2)
  

                                        4
     2.18  f(x) =  (3√x  +  ───)2
                                       √x
  
                                          2 × 3 × 4 × √x            42
                    =  (3√x)2  +  ──────────  +  ────
                                                  √x                    (√x)2
  
                                              16
                    =  9x  +  24  +  ───        =  9x  +  24  +  16x−1
                                               x
  
               f'(x) =  9(1)  +  0  +  16(−1)x−2    
  
                                    16
                      =  9  −  ───                               V/Q. 2.18
                                     x2
  

     2.20  f(x) =  (4x − 5)2
  
                     =  16x2  −  40x  +  25
  
               f'(x) =  32x  −  40                              V/Q. 2.20

     2.22  f(x) =  (3x − 4)2
  
                     =  9x2  −  24x  +  16
  
               f'(x) =  18x  −  24                              V/Q. 2.22

     2.24  f(x) =  (2x − 3)3
  
                     =  (2x − 3)(4x2  −  12x  +  9)
  
                     =  8x3  −  36x2  +  54x  −  27
  
               f'(x) =  24x2  −  72x  +  54                V/Q. 2.24
  

                          8x3   −  1               (2x − 1)(4x2 + 2x + 1)
     2.26  f(x) =  ───────        =  ──────────────
                           2x  −  1                           2x  −  1
  
                     =  4x2  +  2x  +  1
  
               f'(x) =  8x  +  2                                  V/Q. 2.26
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
   
  
Na bo Oefeninge - Graad 12 Oefeninge - Graad 10 Oefeninge - Graad 11 Tuisblad              To the top Exercises - Grade 12 Exercises - Grade 10 Exercises - Grade 11 Home page