WISKUNDE
GRAAD 12
NOG OEFENINGE
  
Die Resstelling : antwoorde.
  
  
MATHEMATICS
GRADE 12
MORE EXERCISES
  
The Remainder theorem : answers.
  
  
1.1
f(x) = x2 − 3x + 4   ;  g(x) = x − 3
1.2
f(x) = 3x2 + 4x −7   ;  g(x) = x + 5
x − 3 = 0    x = 3
x + 5 = 0    x = −5
∴ Res / Remainder = f(3)
∴ Res / Remainder = f(−5)
f(3) = (3)2 − 3(3) + 4
f(−5) = 3(−5)2 + (−5) −7
= 9 − 9 + 4 = 4
= 75 − 5 −7 = 63
Res / Remainder = 4
Res / Remainder = 63
1.3
f(x) = 3x3 − 2x2 + 4x − 8   ;  g(x) = 3x − 2
1.4
f(x) = 4x3 + 3x2 − 5x + 2   ;  g(x) = 2x + 3
2
3
3x − 2 = 0    x = ──
2x + 3 = 0    x = − ──
3
2
2
3
∴ Res / Remainder = f(─)
∴ Res / Remainder = f(− ─)
3
2
2
2
2
2
3
3
3
3
f(─) = 3(─)3 − 2(─)2 + 4(─) − 8
f(− ─) = 4(− ─)3 + 3(− ─)2 − 5(− ─) + 2
3
3
3
3
2
2
2
2
16
11
 ──
= ──
3
4
16
11
Res / Remainder =  ──
Res / Remainder = ──
3
4
1.5
f(x) = −2x3 + 3x2 − 8x + 1   ;  g(x) = 4 − 3x
1.6
f(x) = −3x4 + 5x3 − 3x2 + 2x   ;  g(x) = 5 − 2x
4
5
4 − 3x = 0    x = ──
5 − 2x = 0    x =  ──
3
2
4
5
∴ Res / Remainder = f(─)
∴ Res / Remainder = f( ─)
3
2
4
4
4
4
5
5
5
5
5
f(─) = −2(─)3 + 3(─)2 − 8(─) + 1
f(─) = −3(─)4 + 5(─)3 − 3(─)2 + 2(─)
3
3
3
3
2
2
2
2
2
245
845
 ───
 ────
27
16
245
845
Res / Remainder =  ───
Res / Remainder =  ────
27
16
2.1
f(x) = px2 + 4x − 15     ;  g(x) = x − 3
2.2
f(x) = 3x2 + px + 6     ;  g(x) = x + 2
    en / and    r = 6
    en / and  r = 26
x − 3 = 0    x = 3
x + 2 = 0    x = − 2
∴ Res / Remainder = f(3) = 6
∴ Res / Remainder = f(−2) = 26
p(3)2 + 4(3) − 15 = 6
3(−2)2 + p(−2) + 6 = 26
9p − 3 = 
18 − 2p = 26
9p = 9
− 2p = 8
p = 1
p = −4
2.3
f(x) = x3 − 2x2 + px + 1     ;  g(x) = x − 3
2.4
f(x) = x3 + px2 − 13x + 10     ;  g(x) = x + 2
    en / and    r = 19
    en / and  r = 40
x − 3 = 0    x = 3
x + 2 = 0    x = − 2
∴ Res / Remainder = f(3) = 19
∴ Res / Remainder = f(−2) = 40
(3)3 − 2(3)2 + p(3) + 1 = 19
(−2)3 + p(−2)2 − 13(−2) + 10 = 40
3p + 10 = 19
4p + 28 = 40
3p = 9
4p = 12
p = 3
p = 3
2.5
f(x) = 2x3 + px2 + 2x + 15     ;  g(x) = x + 3
2.6
f(x) = 3x3 − 4x2 + px + 6     ;  g(x) = x − 2
    en / and    r = −144
    en / and  r = −20
x + 3 = 0    x = −3
x − 2 = 0    x = 2
∴ Res / Remainder = f(−3) = −144
∴ Res / Remainder = f(2) = −20
2(−3)3 + p(−3)2 + 2(−3) + 15 = −144
3(2)3 − 4(2)2 + p(2) + 6 = −20
9p − 45 = −114
2p + 14 = −20
9p = −99
2p = −34
p = −11
p = −17
2.7
f(x) = x4 − 3x3 + px2 + 3x + 15     ;  g(x) = x + 3
2.8
f(x) = x4 − 4x3 + 9x2 + px − 3     ;  g(x) = x − 2
    en / and    r = 15
    en / and  r = −5
x + 3 = 0    x = −3
x − 2 = 0    x = 2
∴ Res / Remainder = f(−3) = 15
∴ Res / Remainder = f(2) = −5
(−3)4 − 3(−3)3 + p(−3)2 + 3(−3) + 15 = 15
(2)4 − 4(2)3 + 9(2)2 + p(2) − 3 = −5
9p + 168 = 15
2p + 17 = −5
9p = −153
2p = −22
p = −17
p = −11
3.1
f(x) = x3 − 2x2 − 5x + 6
3.2
f(x) = x3 + 4x2 − 11x − 30
f(1) = (1)3 − 2(1)2 − 5(1) + 6
f(−2) = (−2)3 + 4(−2)2 − 11(−2) − 30
= 1 − 2 − 5 + 6
= −8 + 16 + 22 − 30
= 0
= 0
∴ x − 1 is 'n faktor / a factor.
∴ x + 2 is 'n faktor / a factor.
x3 − 2x2 − 5x + 6 = (x − 1)(x2 − x − 6)
x3 + 4x2 − 11x − 30 = (x + 2)(x2 + 2x − 15)
= (x − 1)(x − 3)(x + 2)
= (x + 2)(x + 5)(x − 3)
3.3
f(x) = x3 + 3x2 − 10x − 24
3.4
f(x) = x3 + 4x2 − 27x − 90
f(−2) = (−2)3 + 3(−2)2 − 10(−2) − 24
f(−3) = (−3)3 + 4(−3)2 − 27(−3) − 90
= −8 + 12 + 20 − 24
= −27 + 36 + 81 − 90
= 0
= 0
∴ x + 2 is 'n faktor / a factor.
∴ x + 3 is 'n faktor / a factor.
x3 + 3x2 − 10x − 24 = (x + 2)(x2 + x − 12)
x3 + 4x2 − 27x − 90 = (x + 3)(x2 + x − 30)
= (x + 2)(x − 3)(x + 4)
= (x + 3)(x − 5)(x + 6)
3.5
f(x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2
3.6
f(x) = 6x3 + 17x2 + 6x − 8
f(−1) = 2(−1)3 − 3(−1)2 − 3(−1) + 2
f(−2) = 6(−2)3 + 17(−2)2 + 6(−2) − 8
= −2 − 3 + 3 + 2
= −48 + 68 − 12 − 8
= 0
= 0
∴ x + 1 is 'n faktor / a factor.
∴ x + 2 is 'n faktor / a factor.
2x3 − 3x2 − 3x + 2 = (x + 1)(2x2 − 5x + 2)
6x3 + 17x2 + 6x − 8 = (x + 2)(6x2 + 5x − 4)
= (x + 1)(x − 2)(2x − 1)
= (x + 2)(2x − 1)(3x + 4)
3.7
f(x) = 3x3 + 5x2 − 16x − 12
3.8
f(x) = 8x3 − 14x2 − 25x + 42
f(2) = 3(2)3 + 5(2)2 − 16(2) − 12
f(2) = 8(2)3 − 14(2)2 − 25(2) + 42
= 24 + 20 − 32 − 12
= 64 − 56 − 50 + 42
= 0
= 0
∴ x − 2 is 'n faktor / a factor.
∴ x − 2 is 'n faktor / a factor.
3x3 + 5x2 − 16x − 12 = (x − 2)(3x2 + 11x + 6)
8x3 − 14x2 − 25x + 42 = (x − 2)(8x2 + 2x − 21)
= (x − 2)(x + 3)(3x + 2)
= (x − 2)(2x − 3)(4x + 7)
  
Na bo Oefening Oefeninge - Graad 12 Oefeninge - Graad 10 Oefeninge - Graad 11 Tuisblad
  
To the top Exercise Exercises - Grade 12 Exercises - Grade 10 Exercises - Grade 11 Home page