WISKUNDE
GRAAD 12
NOG OEFENINGE
  
Identiteite : antwoorde.
  
MATHEMATICS
GRADE 12
MORE EXERCISES
  
Identities : answers.
  
1.
LK / LHS = cos (45° − x) ⋅ cos (45° + x)
= (cos 45° ⋅ cos x  +  sin 45° sin x)  ⋅  (cos 45° ⋅ cos x  −  sin 45° ⋅ sin x)
= cos2 45°  cos2   x  −  sin2 45° sin2 x                   . . . (a + b)(a − b) = a2 − b2
┏
┓2
┏
┓2
┃
1
┃
┃
1
┃
= ┃ ── ┃ ⋅ cos2 x  −   ┃ ── ┃ ⋅ sin2 x
┃
√2
┃
┃
√2
┃
┗
┛
┗
┛
1
= ── ( cos2 x  −   sin2 x)
2
1
= ──  cos 2x    =  RK / RHS
2
Vr/Qu 1.
2.
LK / LHS  =  cos (x − y)  −  cos (x + y)
=  (cos x cos y  +  sin x sin y)  −  (cos x cos y  −  sin x sin y)
=  cos x cos y  +  sin x sin y  −  cos x cos y  +  sin x sin y
=  2 sin x sin y
=  RK / RHS
Vr/Qu 2.
3.
LK / LHS  =   (cos α − sin α)(cos α + sin α)
=  cos2 α  −  sin2 α                . . .  (a − b)(a + b) = a2 − b2
=  cos2 α  −  (1 − cos2 α)
=  cos2 α  −  1 + cos2 α)
=  2 cos2 α  −  1
=  RK / RHS
Vr/Qu 3.
4.
LK / LHS  =  sin2 α cos2 β  −  cos2 α sin2 β
=  sin2 α (1 − sin2 β)  −  (1 − sin2 α) sin2 β
=  sin2 α  −  sin2 α sin2 β   −  sin2 β  +  sin2 α sin2 β
=  sin2 α  −  sin2 β
=  RK / RHS
Vr/Qu 4.
5.
LK / LHS  =  tan2 x − sin2 x
sin2 x
=  ──────  − sin2 x
cos2 x
sin2 x  −  sin2 x cos2 x
sin2 x (1 − cos2 x)
=  ───────────────
=  ─────────────
cos2 x
cos2 x
sin2 x ⋅ sin2 x
sin2 x
=  ──────────
=  ─────  ×  sin2 x
cos2 x
cos2 x
=  tan2 x ⋅ sin2 x
=  RK / RHS
Vr/Qu 5.
6.
LK / LHS  =  cos2 x (1 + tan2 x)
cos2 x
sin2 x
=  cos2 x  + ────  ×  ─────
1
cos2 x
=  cos2 x  + sin2 x
=  1
=  RK / RHS
Vr/Qu 6.
7.
LK / LHS  =  sin2 A ⋅ cos2 B  −  cos2 A ⋅ sin2 B
=  sin2 A ⋅ (1 − sin2 B)  −  (1 − sin2 A) ⋅ sin2 B
=  sin2 A  −   sin2 A ⋅ sin2 B  −  sin2 B  +  sin2 A ⋅ sin2 B
=  sin2 A  −  sin2 B
=  RK / RHS
Vr/Qu 7.
8.
LK / LHS  =  sin4 x − cos4 x
=  (sin2 x − cos2 x)(sin2 x + cos2 x)     . . . a4 − b4 = (a2 − b2)(a2 + b2)
=  (1 − cos2 x  −   cos2 x) ⋅ 1              . . .  sin2 x = 1 − cos2 x
=  1 − 2cos2 x
=  RK / RHS
Vr/Qu 8.
9.
LK / LHS = 27 sin3 A  +  cos3 A
= (3 sin A + cos A)((3 sin A)2 − (3sin A cos A) + cos2 A)        . . . a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
= (3 sin A + cos A)(9 sin2 A − 3sin A cos A + cos2 A)
= (3 sin A + cos A)(8 sin2 A − 3sin A cos A  + sin2 A + cos2 A)
= (3 sin A + cos A)(8 sin2 A − 3sin A cos A  + 1)
=  RK / RHS
Vr/Qu 9.
10.
LK / LHS = (1 − sin A  + cos A)2  =   2(1 − sin A)(1 + cos A)
= 1 − sin A + cos A − sin A  + sin2 A − sin A cos A  + cos A − sin A cos A + cos2 A
= 1 − 2sin A + 2cos A + sin2 A  − 2sin A cos A + cos2 A
= 2 − 2sin A + 2cos A −  2sin A cos A        . . .  sin2 A + cos2 A = 1
= 2(1 − sin A + cos A −  sin A cos A)
= 2[(1 − sin A) + cos A(1 −  sin A)]        . . .  groepeer / grouping
= 2[(1 − sin A)(1 + cos A)]
=  RK / RHS
Vr/Qu 10.
1
1
1
cos x
11.
LK / LHS =  ─────────  −  ────   =    ─────────  −  ─────
sin x ⋅ cos x
tan x
sin x ⋅ cos x
sin x
1 − cos x ⋅ cos x
1 − cos2 x
=  ────────────   =    ─────────
sin x ⋅ cos x
sin x ⋅ cos x
sin2 x
sin x
=  ────────────   =    ─────
sin x ⋅ cos x
cos x
= tan x
=  RK / RHS
Vr/Qu 11.
sin x
1 + cos x
12.
LK / LHS =  ───────   +   ───────
1 + cos x
sin x
sin2 x  +  (1 + cos x)2
=  ───────────────
sin x(1 + cos x)
sin2 x  +  1 + 2cos x + cos2 x
1  +  1 + 2cos x
=  ────────────────────   =  ────────────
sin x(1 + cos x)
sin x(1 + cos x)
2(1 + cos x)
=  ────────────
sin x(1 + cos x)
2
=  ────     . . .  1 + cos x ≠ 0
sin x
=  RK / RHS
Vr/Qu 12.
1 − sin θ
1 − sin θ
1 + sin θ
13.
LK / LHS =  ───────  =  ───────  ×  ───────
cos θ
cos θ
1 + sin θ
1 − sin2 θ
=  ──────────────
cos θ(1 + sin θ)
cos2 θ
=  ────────────
cos θ(1 + sin θ)
cos θ
=  ────────      . . . cos θ ≠ 0
1 + sin θ
=  RK / RHS
Vr/Qu 13.
cos θ
1 − sin θ
cos θ ⋅ cos θ  +  (1 − sin θ) ⋅ (1 − sin θ)
14.
LK / LHS =  ───────  +  ───────   =   ──────────────────────────
1 − sin θ
cos θ
cos θ (1 − sin θ)
cos2 θ  +  1 − 2 sin θ + sin2 θ
=  ────────────────────
cos θ (1 − sin θ)
1 + 1 − 2 sin θ
=  ────────────      . . . sin2 x + cos2 x = 1
cos θ (1 − sin θ)
2(1 − sin θ)
=  ────────────
cos θ (1 − sin θ)
2
=  ──────      . . . 1 − sin x ≠ 0
cos θ
=  RK / RHS
Vr/Qu 14.
1 − tan2 α
15.
LK / LHS =  ───────
1 + tan2 α
sin2 α
1 − ──────
cos2 α
cos2 α − sin2 α
──────────
cos2 α
=  ──────────   =   ────────────
sin2 α
1 + ──────
cos2 α
cos2 α + sin2 α
──────────
cos2 α
cos2 α − sin2 α
cos2 α
=  ───────────  ×  ────────────
cos2 α
cos2 α + sin2 α
=  cos2 α − sin2 α        . . . cos α ≠ 0  en / and  sin2 α + cos2 α = 1
=  1 − sin2 α − sin2 α
=  1 − 2 sin2 α
=  RK / RHS
Vr/Qu 15.
tan2 α
16.
LK / LHS =  ───────
1 + tan2 α
sin2 α
──────
cos2 α
sin2 α
───────
cos2 α
=  ──────────   =   ────────────
sin2 α
1 + ──────
cos2 α
cos2 α + sin2 α
──────────
cos2 α
sin2 α
cos2 α
=  ──────  ×  ──────
cos2 α
1
=  sin2 α
=  1 − cos2 α
=  RK / RHS
Vr/Qu 16.
1 − sin x
17.
LK / LHS =  ───────
1 + sin x
1 − sin x
1 − sin x
(1 −  sin x)2
=  ───────  ×  ───────   =   ────────
1 + sin x
1 − sin x
1 − sin2 x
(1 −  sin x)2
=  ───────
cos2 x
┏
┓2
┃
┃
1
= ┃ ─────  −  tan x ┃
┃
cos x
┃
┗
┛
=  RK / RHS
Vr/Qu 17.
18.
LK / LHS =  (sin A + cos A)2
=  sin2 A + 2 sin A cos A + cos2 A
=  1 + 2 sin A cos A
= RK / RHS
Vr/Qu 18.
2 sin x . cos x(1 + tan2 x)
19.
LK / LHS =  ─────────────────
tan x
sin2 x
2 sin x . cos x(1 + ───── )
cos2 x
=  ────────────────────
sin x
────
cos x
2 sin3 x
cos x
=  (2 sin x cos x  +  ───────)  ×  ────
cos x
sin x
=  2 cos2 x  +  2 sin2 x    =    2(cos2 x  +  sin2 x)
=  2
= RK / RHS
Vr/Qu 19.
2 sin2 A − sin 2A
20.
LK / LHS =  ─────────────
1 − 2 sin A cos A
2 sin2 A − 2 sin A cos A
2 sin A(sin A − cos A)
=  ─────────────────────    =    ────────────────
sin2 A + cos2 A  − 2 sin A cos A
(sin A − cos A)2
2 sin A
─────
2 sin A
cos A
=  ──────────    =    ──────────────
sin A           cos A
─────  −   ─────
sin A − cos A
cos A          cos A
2 tan A
=  ───────
tan A − 1
= RK / RHS
Vr/Qu 20.
  
Na bo Oefeninge - Graad 12 Oefeninge - Graad 10 Oefeninge - Graad 11 Tuisblad
  
To the top Exercises - Grade 12 Exercises - Grade 10 Exercises - Grade 11 Home page