WISKUNDE
GRAAD 10
NOG OEFENINGE
  
Driehoeke en ewewydige lyne : antwoorde.
  
MATHEMATICS
GRADE 10
MORE EXERCISES
  
Triangles and parallel lines : answers.
  
Antwoord / Answer 1  

  
            AD = DC           . . . gegee  /  given
            BE = EC           . . . DE halveer BC  /  DE bisects BC
            DE || AB            . . . lyn deur middelpte.  /  line through midpoints
      In ΔAFC       AD = CD          . . . gegee  /  given
                            DG || AF           . . . bewys hierbo  /  proven
                            CG = GF          . . . lyn || tweede sy  /  line || second side
  
  
  
Vraag / Question 1     
  
  
Antwoord / Answer 2  

  
    2.1  In ΔABE  : AC = CE  en / and CG || AB      . . . gegee  /  given
                           ∴ BG = EG           . . . lyn deur midpt. || ander sy  /  line through midpt. || other side
  
    2.2  In ΔBEF  :  GD || EF            . . . gegee  /  given
                                BG = GE          . . . bewys in 2.1  /  proven 2.1
                             ∴ BD = DF          . . . lyn deur midpt. || ander sy  /  line through midpt. || other side
  
    2.3  In ΔABE  : AC = CE  en / and CG || AB      . . . gegee  /  given
                               BG = GE                                     . . . bewys 2.1  /  proven 2.1
                               CG = ½ AF                                  . . . mid. pt. stelling  /  midpoint theorem
           Netso / Similarly   GD = ½ EF
                           ∴ CG + GD = ½ AB + ½ EF
                           ∴ CD = ½ (AB + EF)
  
  
Vraag / Question 2     
  
  
Antwoord / Answer 3  

  
    3.1  In ΔPQR  : PT = TQ  en / and TA || QR              . . . gegee  /  given
                           ∴ PA = AR  en / and  TA = ½ QR        . . . lyn deur midpt. || ander sy  /
                                                                                                      line through midpt. || other side
           In ΔPRS  : PA = AR  (bewys / proven)  en / and AU || PS              . . . gegee  /  given
                           ∴ RU = US  en / and  AU = ½ PS        . . . lyn deur midpt. || ander sy  /
                                                                                                      line through midpt. || other side
          In ΔSQR  : SB = BQ,  SU = UR  (bewys / proven)  en / and BU || QR      . . . gegee  /  given
                           ∴ BU = ½ QR                       . . . midpt. stelling  /  midpoint theorem.
                               TA = ½ QR  en / and  BU = ½ QR
                           ∴  TA = BU
  
    3.2       AB = AU − BU
                       = ½ PS − ½ QR
                       = ½(PS − QR)
  
  
Vraag / Question 3     
  
Antwoord / Answer 4  

  
    4.1  In ΔABD  : AK = KB  en / and AN = ND            . . . gegee  /  given
                           ∴ KN || BD  en / and  KN = ½ BD        . . . midpt. stelling  / midpt. theorem
           In ΔBDC  : BL = LC  en / and  DM = MC           . . . gegee  /  given
                           ∴ LM || BD  en / and  LM = ½ BD        . . . midpt. stelling  /  midpt. theorem
                           ∴ KN = en / and || LM;
  
    4.2  KLMN is 'n parallelogram as KL || NM en KN || LM
           KLMN is a parallelogram if KL || NM and KN || LM
           Trek hoeklyn AC.  /  Draw diagonal AC.
           In ΔABC   : AK = KB  en / and BL = LC            . . . gegee  /  given
                           ∴ KL || AC  en / and  KL = ½ AC        . . . midpt. stelling  / midpt. theorem
           In ΔADC   : AN = ND  en / and DM = MC         . . . gegee  /  given
                           ∴ NM || AC  en / and  NM = ½ AC      . . . midpt. stelling  / midpt. theorem
                           ∴ KL = en / and || NM;
                              KN || LM  en / and  KL || NM
                           ∴ KLMN is 'n parallelogram  /  KLMN is a parallelogram   
                                     . . . pare oorstaande sye ewewydig  /  opposite pairs of sides are parallel
  
    4.3  KL + LM + MN + NK  =  ½ AC + ½ BD + ½ AC + ½ BD
                                                = AC + BD
  
  
Vraag / Question 4     
  
Antwoord / Answer 5  

  
         ∠K1 = L1  as DKML 'n parallelogram is (oorstaande hoeke gelyk)  /
                           if DKML is a parallelogram (opposite angles equal)
         Bewys dus dat DKML 'n parallelogram is [een paar oorstaande sye = en || ]  /
        Therefore prove that DKLM is a parallelogram by proving one pair of opposite sides = and ||.
         In ΔDEF : DK = KE  en / and  EM = MF         . . . gegee / given.
                       ∴  KM || DF  en / and  KM = ½ DF     . . . middelpt. stelling / mid. point theorem.
                           DL = ½ DF            . . . L is die middelpunt van DF  / L is the midpoint of DF.
                       ∴  KM = DL  en / and  KM || DL
                      ∴  DKML is 'n parallelogram (een paar oorstaande sye = en ||)  /
                           DKML is a parallelogram (one pair of opposite sides = and ||)
                       ∴  ∠K1 = L1     . . . oorstaande hoeke / opposite angles
  
  
Vraag / Question 5  
  
  
Antwoord / Answer 6  

  
  // Wanneer sal ABCQ 'n parallelogram
  // wees? Maak seker van die voorwaardes.
  // 1. In die skets is MP || BC. Kan ons bewys
  //     dat AQ gelyk en ewewydig aan BC?
  //     Dan is ABCQ 'n parallelogram - een
  //     paar oorstaande sye gelyk en ewewydig.
  // 2. In die skets is BP = PQ. Kan ons bewys
  //     dat AC en BQ mekaar halveer?
  //     As AP = PC en BP = PQ is ABCQ 'n
  //     parallelogram - hoeklyne halveer mekaar.
  
  
 // When will ABCQ be a parallelogram? Make
 // sure of the conditions???.
 // 1. In the diagram MP || BC. Can we prove that
 //     AQ equal and parallel to BC?
 //     If so then ABCQ is a parallelogram - one
 //     pair of opposite sides equal an parallel.
 // 2. In the diagram BP = PQ. Can we prove
 //     AC and BQ bisect one another?
 //     If AP = PC and BP = PQ then ABCQ is a
 //     parallelogram - diagonals bisect each other.
  
Bewys  /  Proof

   In Δ ABC :  AM = MB  en / and  MP || BC          . . .  gegee  /  given
                 ∴  AP = PC en / and  MP = ½ BC        . . .  lyn deur middelpunt van een sy en || tweede sy  /
                                                                                    line through midpoint of one side and || second side
   In Δ BAQ :  AM = MB  en / and  BP = PQ        . . .  gegee  /  given
                   ∴  MP || AQ  en / and  MP = ½ AQ     . . .  lyn deur middelpunt van een sy en || tweede sy  /
                                                                                    line through midpoint of one side and || second side
                   ∴  BC || MP || AQ  en / and  AQ = BC
                   ∴  ABCQ is 'n parallelogram.           . . .  een paar oorst. sye = en ||
                   ∴  ABCQ is a parallelogram             . . .   one pair of opp. sides = and ||
  
OF  /  OR

  
   In Δ ABC :  AM = MB  en / and  MP || BC          . . .  gegee  /  given
                   ∴  AP = PC                                            . . .  lyn deur middelpunt van een sy en || tweede sy  /
                                                                                    line through midpoint of one side and || second side
                     en / and  BP = PQ                                . . .  gegee  /  given
                   ∴  AC en BQ halveer mekaar.   /   AC and BQ bisect one another.
                   ∴  ABCQ is 'n parallelogram.           . . .  hoeklyne halveer mekaar.
                   ∴  ABCQ is a parallelogram             . . .   diagonals bisect one another.
  
  
Vraag / Question 6  
  
  
Antwoord / Answer 7  

   In Δ EMF :  K is die middelpunt van EF en EM || KN    . . .  gegee
                       /  K is the midpoint of EF and EM || KN    . . .  given
                 ∴  MN = NF                . . .  lyn deur middelpunt van een sy en || tweede sy  /
                                                                line through midpoint of one side and || second side
   In Δ DKN :  L is die middelpunt van DK en LM || KN    . . .  gegee
                        /  L is the midpoint of DK and LM || KN    . . .  given
                 ∴  DM = MN                . . .  lyn deur middelpunt van een sy en || tweede sy
                                                              /  line through midpoint of one side and || second side
                 ∴  DM = MN = NF
                 ∴  DF = DM + MN + NF
                            = 3 DM
  
Vraag / Question 7