WISKUNDE
GRAAD 10
NOG OEFENINGE
  
Definisies van die trigonometriese funksies : antwoorde.
  
MATHEMATICS
GRADE 10
MORE EXERCISES
  
Definitions of the trigonometric functions : answers.
  
 
Antwoord / Answer 1.
 
 
teenoorstaande  /  opposite
aangrensende  /  adjacent
1.1
sin C = —————————————
1.2
cos C = —————————————
skuinssy  /  hypotenuse
skuinssy  /  hypotenuse
t  /  o
a
AB
BC
= ———  =  ——
= ———  =  ——
s  /  h
s  /  h
BC
AC
6
3
8
4
= ——  =  —
= ——  =  —
10
5                          Vr / Qu 1.
10
5                          Vr / Qu 1.
 
 
teenoorstaande  /  opposite
teenoorstaande  /  opposite
1.3
tan C = —————————————
1.4
sin A = —————————————
aangrensende  /  adjacent
skuinssy  /  hypotenuse
t  /  o
t  /  o
AB
BC
= ———  =  ——
= ———  =  ——
a
s  /  h
BC
AC
6
3
8
4
= ——  =  —
= ——  =  —
10
5                          Vr / Qu 1.
10
5                          Vr / Qu 1.
 
 
aangrensende  /  adjacent
teenoorstaande  /  opposite
1.5
cos A = —————————————
1.6
tan A = —————————————
skuinssy  /  hypotenuse
aangrensende  /  adjacent
a  /  a
t  /  o
AB
BC
= ———  =  ——
= ———  =  ——
s  /  h
a  /  a
AC
AB
6
3
8
4
= ——  =  —
= ——  =  —
10
5                          Vr / Qu 1.
8
6                          Vr / Qu 1.
 
 
1
skuinssy  /  hypotenuse
1
skuinssy  /  hypotenuse
1.7
cosec C = ———  =  —————————————
1.8
sec C = ————   =    ————————————
sin C
teenoorstaande  /  opposite
cos C
aangrensende  /  adjacent
a  /  a
t  /  o
AB
BC
= ———  =  ——
= ———  =  ——
s  /  h
a  /  a
AC
AB
6
3
8
4
= ——  =  —
= ——  =  —
10
5                          Vr / Qu 1.
8
6                          Vr / Qu 1.
 
 
1
aangrensende  /  adjacent
1
skuinssy  /  hypotenuse
1.9
cot C = ———  =  —————————————
1.10
cosec A = ————   =    —————————————
tan C
teenoorstaande  /  opposite
sin A
teenoorstaande  /  opposite
t  /  o
t  /  o
AB
AB
= ———  =  ——
= ———  =  ——
t  /  o
t  /  o
AB
AB
8
4
10
5
= ——  =  —
= ——  =  —
6
3                          Vr / Qu 1.
6
3                          Vr / Qu 1.
 
 
1
skuinssy  /  hypotenuse
1
teenoorstaande  /  opposite
1.11
sec A = ———  =  —————————————
1.12
cot A = ————   =    ————————————
cos A
teenoorstaande  /  opposite
tan A
aangrensende  /  adjacent
a  /  a
t  /  o
AB
BC
= ———  =  ——
= ———  =  ——
s  /  h
a  /  a
AC
AB
6
3
8
4
= ——  =  —
= ——  =  —
10
5                          Vr / Qu 1.
8
6                          Vr / Qu 1.
 
Antwoord / Answer 2.
 
 
 
t / o
DF
a / a
EF
t / o
DF
2.1
sin θ = ———  =  ——
2.2
cos α = ———   =    ———
2.3
tan θ = ——   =    ———
s / h
DE
s / h
DE
a / a
EF
8
15
17
= ———
= ———
= ———
8                     Vr / Qu 2.
15                     Vr / Qu 2.
17                     Vr / Qu 2.
 
 
 
s
DE
s
DE
a
DF
2.4
cosec α = ——  = ———
2.5
sec θ = ——  = ———
2.6
cot α = ——  = ———
t
EF
a
EF
t
EF
17
17
8
= ——  
= ——
= ——
15                     Vr / Qu 2.
15                     Vr / Qu 2.
15                     Vr / Qu 2.
 
 
 
t / o
EF
a / a
EF
t / o
EF
2.7
sin α = ——  = ———
2.8
cos θ = ——  = ———
2.9
tan α = ——  = ———
s / h
DE
s / h
DE
a / a
DF
15
15
15
= ——  
= ——
= ——
17                     Vr / Qu 2.
17                     Vr / Qu 2.
8                     Vr / Qu 2.
 
 
 
s / h
DE
s / h
DE
a / a
EF
2.10
cosec θ = ———  = ———
2.11
sec α = ———  = ———
2.12
cot θ = ———  = ———
t / o
DF
a / a
DF
t / o
DF
17
17
15
= ——  
= ——
= ———
15                     Vr / Qu 2.
8                     Vr / Qu 2.
8                     Vr / Qu 2.
 
Antwoord / Answer 3.
 
 
 
t / o
PR
s / h
PQ
a / a
QR
3.1
sin Q = ———  = ———
3.2
sec P = ———  = ———
3.3
cot Q = ———  = ———
s / h
PQ
a / a
PR
t / o
PR
5
13
12
= ——  
= ——
= ——
13                     Vr / Qu 3.
5                     Vr / Qu 3.
5                     Vr / Qu 3.
 
 
 
a / a
PR
s / h
PQ
t / o
QR
3.4
cos P = ———  = ———
3.5
cosec Q = ———  = ———
3.6
tan P = ———  = ———
s / h
PQ
t / o
PR
a / a
PR
5
13
12
= ——  
= ——
= ——
13                     Vr / Qu 3.
5                     Vr / Qu 3.
5                     Vr / Qu 3.
 
 
 
t / o
PR
s / h
PQ
a / a
PR
3.7
tan Q = ———  = ———
3.8
sec Q = ———  = ———
3.9
cot P = ———  = ———
a / a
QR
a / a
QR
t / o
QR
5
13
5
= ——  
= ——
= ——
12                     Vr / Qu 3.
12                     Vr / Qu 3.
12                     Vr / Qu 3.
a / a
QR
t / o
QR
s / h
PQ
3.10
cos Q = ———  = ———
3.11
sin P = ———  = ———
3.12
cosec P = ———  = ———
s / h
PQ
s / h
PQ
t / o
QR
12
12
13
= ——  
= ——
= ——
13                     Vr / Qu 3.
13                     Vr / Qu 3.
12                     Vr / Qu 3.
 
Antwoord / Answer 4.
 
 
 
a / a
KL
s / h
KM
t / o
KL
4.1
cot β = ———  = ———
4.2
cosec Φ = ———  = ———
4.3
tan Φ = ———  = ———
t / o
LM
t / o
KL
a / a
LM
7
16
7
= ——  
= ——
= ——
11                     Vr / Qu 4.
7                     Vr / Qu 4.
11                     Vr / Qu 4.
 
 
 
t / o
LM
a / a
LM
s / h
KM
4.4
sin β = ———  = ———
4.5
cos Φ = ———  = ———
4.6
cosec β = ———  = ———
s / h
KM
s / h
KM
t / o
LM
11
11
16
= ——  
= ——
= ——
16                     Vr / Qu 4.
16                     Vr / Qu 4.
11                     Vr / Qu 4.
 
 
 
t / o
LM
s / h
KM
a / a
KL
4.7
tan β = ———  = ———
4.8
sec β = ———  = ———
4.9
cos β = ———  = ———
a / a
KL
a / a
KL
s / h
KM
11
16
7
= ——  
= ——
= ——
7                     Vr / Qu 4.
7                     Vr / Qu 4.
16                     Vr / Qu 4.
 
 
 
s / h
KM
t / o
KL
a / a
LM
4.10
sec Φ = ———  = ———
4.11
sin Φ = ———  = ———
4.12
cot Φ = ———  = ———
a / a
LM
s / h
KM
t / o
KL
16
7
11
= ——  
= ——
= ——
11                     Vr / Qu 4.
16                     Vr / Qu 4.
7                     Vr / Qu 4.
 
Antwoord / Answer 5.
 
Figuur / Figure 5.1
y
4
r
5
y
4
(a)
sin θ = ——  = ——
(b)
sec θ = ——  = ——
(c)
tan θ = ——  = ——
r
5
x
3
x
3                     Vr / Qu 5.
r
5
x
3
x
3
(d)
cosec θ = ——  = ———
(e)
cos θ = ——  = ———
(f)
cot θ = ——  = ———
y
4
r
5
y
4                     Vr / Qu 5.
 
Figuur / Figure 5.2
y
12
r
15
y
12
(a)
sin θ = ——  = ———
(b)
sec θ = ——  = ———
(c)
tan θ = ——  = ———
r
15
x
− 9
x
−9
4
5
4
= ——
= − ——
= − ——
5
3
3                     Vr / Qu 5.
r
15
x
− 9
x
− 9
(d)
cosec θ = ——  = ———
(e)
cos θ = ——  = ———
(f)
cot θ = ——  = ———
y
12
r
15
y
12
5
3
3
= ——
= − ——
= − ——
4
5
4                     Vr / Qu 5.
 
Figuur / Figure 5.3
r
17
x
− 8
x
− 8
(a)
cosec θ = ——  = ———
(b)
cos θ = ——  = ———
(c)
cot θ = ——  = ———
y
− 15
r
17
y
− 15
17
8
8
= − ——
= − ——
=  ——
15
17
15                     Vr / Qu 5.
y
− 15
y
− 15
r
17
(d)
tan θ = ——  = ———
(e)
sin θ = ——  = ———
(f)
sec θ = ——  = ———
x
− 8
r
17
x
−8
15
15
17
= ——
= − ——
= − ——
8
17
8                     Vr / Qu 5.
 
Figuur / Figure 5.4
r
√5
x
2
x
2
(a)
cosec θ = ——  = ———
(b)
cos θ = ——  = ———
(c)
cot θ = ——  = ———
y
− 1
r
√5
y
− 1
 
2
= − √5
=   ——
= − 2
√5
y
− 1
y
− 1
r
√5
(d)
tan θ = ——  = ———
(e)
sin θ = ——  = ———
(f)
sec θ = ——  = ——
x
2
r
√5
x
2
1
1
√5
= − ——
= − ——
= ——
2
√5
2                     Vr / Qu 5.
 
 
Antwoord / Answer 6.
QR
QS
6.1
In ΔPQR; sin P = ———    en   in ΔPSQ; sin P = ———
PR
PQ
PQ
RS
6.2
In ΔPQR; cos R = ———    en   in ΔQSR; cos R = ———
PR
QR
QR
QS
6.3
In ΔPQR; tan P = ———    en   in ΔPSQ; tan P = ———
PQ
PS
Vraag / Question 6.
 
Antwoord / Answer 7.
y
12
1
7.1
OP2 = PQ2 + OQ2   . . . Pythagoras
7.2
sin α  = ───   =  ────   =  ───
25
144
12
= 122 + 52
= 144  +  25
13
12
1
7.3
13 cos α  = ——  X  ——  =  ——  = 12
= 169  =  132
1
13
1
OP =  r  =  13
12
13
25
7.4
tan α  +  sec α  = ——   +  ——  = ——
5
5
5
=  5
2
2
2
5
12
5
7.5
sin2 α  +  cos2 α   = 
7.6
tan2 α  +  1   = 
├───┤  +  ├───┤
├───┤  +  1
13
13
12
25
144
25
144
=     ——       +   ——
=     ——       +   ——
169
169
169
169
169
169
=     ——  = 1
=     ——  = 1
169
169
Vraag / Question 7.
 
Antwoord / Answer 8.
− 12
12
8.1
OQ2 = x2 + y2   . . . Pythagoras
8.2
cos θ  = ───   =  − ────
13
13
= (−12)2 + (−5)2   =  144  +  25
−5
13
5
13
=  169
8.3
tan θ +  sec θ  =  ───  +   ───   =  ───  −  ────
−12
−12
12
12
OQ  =  r  =  √169
8
=  13
=  − ───
12
2
2
13
−12
144
8.4
cosec2 θ  −  1  = 
├───┤  −  1
8.5
cot2 θ  =  
├───┤      =  ────
−5
−5
25
169
25
=   ───  −  ───
25
25
144
=   ───
25
Vraag / Question 8.
 
Antwoord / Answer 9.
−√13
6
9.1
OK2 = MO2 + KM2   . . . Pythagoras
9.2
cos Φ  +  sin Φ  =  ────  +  ────
7
7
= (−√13)2 + (6)2   =  13  +  36
6 − √13
=  ───────
7
OK  =  r  =  √49
=  7
2
2
6
6
9.3
1  +  tan2  =  1  +  
├────┤
9.4
cot2 Φ  +  1  =  
├────┤  +  1
−√13
−√13
13
36
13
36
=  ───  +  ───
=  ───  +  ───
13
13
13
13
49
49
=  ───
=  ───
13
13
2
7
49
9.5
cosec2 Φ  =  
├────┤    =  ───
−√13
36
Vraag / Question 9.
 
Antwoord / Answer 10.
10.1
5 − 12 tan θ = 0  en / and  sin θ < 0
−5
tan θ = ——  en / and   sin θ < 0
−12
∴  θ is in die derde kwadrant
∴  θ is in the third qudarant
of θ ∈ [180° ; 270°]
or θ ∈ [180° ; 270°]
en x en y is dus albei
and x and y are both
negatief, sodat
negative, so that
x = −12 en y = −5.
x = −12 and y = −5.
OQ2 = (−12)2 + (−5)2 . . . Pythagoras
= 169
r = OQ = √169 = 13
13
− 5
5
13
5
−12
10.2
13 sin θ = —— X ——
10.3
5 cosec Θ +  5 cot θ  =  ———  ×  ———  +  ———  ×  ———
1
13
1
−5
1
−5
=  −5
=  −13  +  12    =  −1
−5
13
8
10.4
tan Θ +  sec θ  =  ———  +  ———    =  ———
−12
−12
−12
2
=  −  ——
3
Vraag / Question 10.
 
Antwoord / Answer 11.
11.1
17 cos α = 8 en α ∈[180° ; 360°]
8
cos α = ——  en α ∈[180° ; 360°]
17
∴  θ is in die vierde kwadrant
∴  θ is in the fourth qudarant
of α ∈ [270° ; 360°]
of α ∈ [270° ; 360°]
en x is positief en y is
and x is positive and y is
negatief, sodat x = 8
negative, so that x = 8
OQ2 = (8)2 + y2 . . . Pythagoras
172 = (8)2 + y2 . . . Pythagoras
y2 = 289 − 64 = 225
y = − √225 = − 15 . . . y < 0
17
11.2
cosec α = ——
8
2
2
− 15
8
11.3
sin2 α  +  cos2 α   = 
├────┤
   +  
├───┤
17
17
2
− 15
225
64
289
11.4
1 + tan2 α = 1 +  
├────┤
=  ——  +  ———   =  ———
8
289
289
289
64
225
289
= —— + ——   =  ———
= 1
64
64
64
−15
17
17
−15
15
8
11.5
tan α + sec α = —— + ——
11.6
17 sin α + 15 cot α = —  X  ——  +  —  X ——
8
8
1
17
1
−15
1
= —— 
= −15 − 8  = −23
4
Vraag / Question 11.
 
Antwoord / Answer 12.
12.1
In ΔPQS  ∠P + ∠PQS = 90°  sodat / so that  ∠PQS = (90° − α)
In ΔPQR  ∠P + ∠R = 90° sodat / so that  ∠R = (90° − α)
In ΔQSR  ∠RQS + ∠R = 90° sodat / so that  ∠RQS = α
Daarom / Therefore ∠RQS = α
QS
QR
SR
12.2
In ΔPQS  tan α = ——  en in / and in   ΔPQR  tan α = ——  en in / and in   ΔQSR  tan α = ——
PS
PQ
QS
2
2
QS
PS
12.3
sin2 α + cos2 α =  
├────┤
  +  
├────┤
PQ
PQ
QS2  +  PS2
= ——————
PQ2
PQ2
= ———   . . . Pythagoras
PQ2
= 1
Vraag / Question 12.
  
Na bo Oefening To the top Exercise