WISKUNDE |
MATHEMATICS |
GRAAD 11 |
GRADE 11 |
NOG OEFENINGE |
MORE EXERCISES |
Analitiese meetkunde toepassings : antwoorde. |
Applications of analytical geometry : answers. |
┏
┓
—————————————
┃
−1 + 4
2 + (−1)
┃
1.1
d(AB) = √((2 − (−5))2
+ (−3 − 7)2)
1.2
M(CD) =
┃───── ; ─────┃
┃
2
2
┃
┗
┛
——————
= √(49 + 100)
3
1
= (── ; ──)
———
2
2
= √149
1.3
m(EF) = 0,5
1.4
tan θ = m(KL)
−5 − (−8)
3
12 − 5
7
─────── = ──
────── = ───
5 − k
2
7 − (−3)
10
3
1
────── = ──
tan; θ = 0,7
5 − k
2
5 − k = 6
θ = 34,99°
k = −1
1.5
P, Q en R is saamlynig as m(PQ) = m(QR).
1.6
m(⊥) X m(AB) = -1
P, Q and R are collinear if m(PQ) = m(QR).
6 − (−9)
15
3
m(AB) = ────── = ─── = ──
6 − (−4)
10
2
−4 − 8
−12
3
m(PQ) = ────── = ──── = − ──
4 − (−4)
8
2
3
2
m(AB) X m(⊥) = ── X ─ ─── = −1
2
3
−7 − (−4)
−3
3
m(QR) = ────── = ──── = − ──
2
6 − 4
2
2
∴ m(⊥) = − ──
3
2
m(PQ) = m(QR) en daarom is P, Q
By / At C : y − 8 = −
── (x − 4)
3
en R saamlynig / kolineêr.
2
32
∴ y = − ── x + ──
3
3
—————————————
2.1
d(PQ) = √((2 − 6)2
+ (1 − (−2))2)
2.2
As A, B en C saamlynig is, is m(AB) = m(BC) //
—————
= √(16 + 9)
If A, B ad C are collinear, then m(AB) = m(BC).
———
4 − (−4)
8
4
= √25
m(AB) = ────── = ─── = ──
3 − (−3)
6
3
= 5
9 − 3
6
m(BC) = ────── = ─────
2.3
As / If PQ ⊥ QR dan is / then
2p − 3
2p − 3
m(PQ) X m(QR) = −1
6
4
────── = ───
2p − 3
3
yQ − yP
yR − yQ
────── X ────── = −1
8p − 12 = 18
xQ − xP
xR − xQ
8p = 30
3 − 5
2w − 3
────── X ──────── = −1
15
1 − (−2)
2w + 1 − 1
p = ──
4
− 2
2w − 3
─── X ──────── = −1
3
2w
X 6w : −4w + 6 = −6w
2w = −6
w = −3
yL − yK
2 − (−2)
4
2.4
m(KL) = ────── = ────── = ──
xL − xK
6 − 3
3
By / At K : y − yK = m (x − xK)
4
y − (−2) = ── (x − 3)
3
4
y = ── x −6
3
┏
┓
┃
xD + xF
yD + yF
┃
yQ − yP
3 − (−3)
3
┃───── ; ─────┃
2.5
= M(DF)
2.6
m(PQ) = ───── = ─────── = ───
┃
2
2
┃
xQ − xP
5 − (−23)
14
┗
┛
k
┏
┓
7y − kx − 21 = 0 :
y = ── x + 3
┃
13 + b
11 + 5
┃
3
┃───── ; ─────┃
= (4,5 ; a)
┃
2
2
┃
┗
┛
Lyne is ewewydig en dus is gradiënte gelyk.
13 + b
11 + 5
Lines are parallel and thus gradients are equal.
───── = 4,5
───── = a
2
2
k
3
─── = ───
13 + b = 9
16 = 2a
7
14
b = −4
8 = a
14k = 21
3
k = ───
2
┏
┓
┃
xD + xF
yD + yF
┃
yE − yD
1 − 5
1
┃───── ; ─────┃
3.1
M(DF) =
3.2
m(DE) = ───── = ─────── = ───
┃
2
2
┃
xE − xD
−5 − 3
2
┗
┛
—————————————
┏
┓
3.3
d(DE) = √((xE − xD)2
+ (yE − yD)2)
┃
3 + (−5)
5 + 1
┃
= ┃───── ; ─────┃
┃
2
2
┃
—————————————
┗
┛
= √((−5 − 3)2
+ (1 − 5)2)
= (−1 ; 3)
—————;
——
= √(64 + 16)
= √80
—————————————
d(DF) = √((xF − xD)2
+ (yF − yD)2)
—————————————
= √((7 − 3)2
+ (−3 − 5)2)
—————;
——
= √(64 + 16)
= √80
∴ DE = DF
yM − yF
yF − yE
3 − (−3)
−3 − 1
3
1
───── = ────
── = − ───
───── = ────
── = − ───
3.4
m(FM) =
3.5
m(EF) =
xM − xF
xF − xE
−1 − 7
7 − (−5)
4
3
1
By / At F : y − yF
= m (x − xF)
m(⊥) X m(EF) = −1 :
m(⊥) X − ─── = −1
3
3
y − (−3) = − ── (x − 7)
∴ m(⊥) = 3
4
3
9
y = − ── x + ──
By / At D : y − yD
= m (x − xD)
4
4
3x + 4y − 9 = 0
y − 5 = 3 (x − 3)
y = 3 x − 4
yS − yR
3 − (−7)
10
4.1
PS || QR ∴ m(PS) = m(QR)
4.2
m(RS) = ────── = ───── = ───
xS − xR
3 − 6
−3
3 − 5
−7 − (−3)
────── = ──────
10
3 − (−2)
6 − a
tan Θ = − ───
3
− 2
−4
──── = ──────
verwysings hoek / ref. angle = 73,3007..°
5
6 − a
Θ = 180° − 73,3007..°
2a − 12 = − 20
= 106,7°
a = −4
yR − yP
−7 − 5
3
4.3
m(PR) = ────── = ───── = − ──
4.4
m(⊥) X m(PR) = −1
xR − xP
6 − (−2)
2
2
3
m(⊥) X − ─── = −1 : m(⊥) = ──
2
3
By / At P : y − yP = m (x −xP)
By / At Q : y − yQ = m (x −xQ)
3
2
y − 5 = − ── (x −(−2))
y − (−3) = ── (x −(−4))
2
3
3
2
1
y = − ── x + 2
y = ── x − ──
2
3
3
yB − yA
−1 − 5
−6
yD − yC
8 − 2
6
5.1
m(AB) = ────── = ────── = ── = 3
m(CD) = ────── = ───── = ── = 3
xB − xA
−5 − (−3)
−2
xD − xC
4 − 2
6
m(AB) = m(CD) ∴ AB || CD
—————————————
—————————————
5.2
d(AB) = √((xB − xA)2
+ (yB − yA)2)
d(CD) = √((xD − xC)2
+ (yD − yC)2)
—————
—————
——
——
= √(4 + 36)
= √(4 + 36)
= √40
= √40
∴ AB = CD
5.3
ABCD is 'n parallelogram . . . een paar oorstaande sye gelyk en ewewydig.
ABCD is a parallelogram . . . one pair opposite sides equal and parallel.
┏
┓
┏
┓
┃
xA + xC
yA + yC
┃
┃
xB + xD
yB + yD
┃
5.4
M(AC) =
┃───── ; ─────┃
5.5
M(BD) =
┃─────── ; ───────┃
┃
2
2
┃
┃
2
2
┃
┗
┛
┗
┛
┏
┓
┏
┓
┃
−3 + 2
5 + 2
┃
┃
−5 + 4
−1 + 8
┃
=
┃───── ; ─────┃
=
┃─────── ; ───────┃
┃
2
2
┃
┃
2
2
┃
┗
┛
┗
┛
1
7
1
7
=
(− ── ; ──)
=
(− ── ; ──)
2
2
2
2
AC gaan deur die middelpunt van BD en dus halveer AC vir BD.
AC passes through the midpoint of BD and thus AC bisects BD.
—————————————
yF − yE
−7 − 1
2
6.1
d(EF) = √((xF − xE)2
+ (yF − yE)2)
6.2
m(EF) = ────── = ───── = ─ ──
xF − xE
7 − (−5)
3
—————————————
= √((7 − (−5))2
+ (−7 − 1)2)
——————
——
= √(144 + 64)
= √208
yK − yE
−3 − 1
yF − yK
−7 − (−3)
6.3
m(EK) = ────── = ──────
m(KF) = ────── = ───────
xK − xE
1 − (−5)
xF − xK
7 − 1
−4
2
−4
2
= ─── = ─ ──
= ─── = ─ ──
6
3
6
3
m(EK) = m(KF) ∴ E, K en F is saamlynig. / E, K and F are collinear.
—————————————
6.4
DK ⊥ EF : m(DK) X m(EF) = −1
6.5
d(DK) = √((xK − xD)2
+ (yK − yD)2)
2
—————————————
m(DK) X − ── = −1
= √((1 − 2)2
+ (−3 − (−3))2)
3
3
—————
——
∴ m(DK) = ──
= √(1 + 36) = √37
2
1
1
By / At D (5 ; 3) : y − yD = m (x − xD)
Area Δ DEF = ── bh = ── EF X DK
2
2
3
1
——
——
y − 3 = ── (x − 5)
= ── X √208 X √37
2
2
3
7
y = ── x ─ ──
= 43,863 eenhede2 / units2
2
2
3x − 2y − 7 = 0