Graad 11 Wiskunde - Nog Oefeninge.

Grafieke van sin x, cos x en tan x : antwoorde.

1.1
y = 3 cos x − 2
1.2
y = 1 − sin x
Vertikale translasie : q = − 2 en die grafiek
Vertikale translasie : q = 1 en die grafiek
slinger om y = − 2
slinger om y = 1
amplitude = 3 en dus
amplitude = 1 en dus
maksimum = − 2 + 3 = 1
maksimum = 1 + 1 = 
minimum = −2 − 3 = − 5
minimum = 1 − 1 = 0
Daar is geen horisontale verskuiwing; p = 0
Daar is geen horisontale verskuiwing; p = 0
Periode = 360°
Periode = 360°
Die maksimum word bereik by 0°
Die maksimum word bereik by −90°
Die minimum word bereik by −180° en
Die minimum word bereik by 90°
by 180°
1.3
y = cos (2x − 60°)  = cos 2(x − 30°)
1.4
y = sin (x + 30°)
Vertikael translasie : q = 0 en die grafiek
Vertikale translasie : q = 0 en die grafiek
slinger om y = 0; die X-as
slinger om y = 0 ; die X-as
amplitude = 1 en dus maksimum = 1
amplitude = 1 en dus maksimum = 1
en minimum = − 1
en minimum = − 1
k = 2 en periode = 180°
k = 1 en periode = 360°
Horisontale translasie; p = 30° na regs.
Horisontale translasie; p = 30° na links.
Die maksimum word bereik by − 150° en
Die maksimum word bereik by 120°
by 30°
Die minimum word bereik by −60° en
Die minimum word bereik by − 60°
by 120°
1.5
y = cos (x + 30°) −1
1.6
y = sin (x + 60°) + 1
Vertikale translasie : q = − 1 en die grafiek
Vertikale translasie : q = 1 en die grafiek
slinger om y = − 1
slinger om y = 1
amplitude = 1 en dus
amplitude = 1 en dus
maksimum = 1 − 1 = 0
maksimum = 1 + 1 = 2
en minimum = −1 − 1 = −2
en minimum = 1 − 1 = 0
k = 1 en periode = 360°
k = 1 en periode = 360°
Horisontale translasie; p = 30° na links.
Horisontale translasie; p = 60° na links.
Die maksimum word bereik by − 30°
Die maksimum word bereik by 30°
Die minimum word bereik by 150°
Die minimum word bereik by − 150°
2.1
y = a sin k(x + p)
2.2
y = a cos k(x + p)
Die grafiek slinger om y = 0; die X-as
Die grafiek slinger om y = 0; die X-as
en dus q = 0
en dus q = 0
360°
360°
periode = 180° en k = ———  = 2
periode = 120° en k = ———  = 3
180°
120°
Horisontale translasie is 30° na links; p = +30°.
Horisontale translasie is 30° na regs; p = −30°
Vergelyking: y = 1. sin 2x + 30°
Vergelyking: y = 2. cos 3x − 30°
= sin 2(x + 15°)
= 2 cos 3(x − 10°)
2.3
y = a sin k(x + p) + q
2.4
y = a cos k(x + p) + q
Die grafiek slinger om y = 0; die X-as
Die grafiek slinger om y = 0; die X-as
en dus q = 0
en dus q = 0
amplitude = 2 en dus a = 2
amplitude = 3 en die grafiek
is 'n kosinus-grafiek sodat a =  − 3
360°
360°
periode = 120° en k = ———  = 3
periode = 180° en k = ———  = 2
120°
180°
By A(20° ; 0): 3(20° + p) = 0°
By A(15° ; 0): 2(15° + p) = 90°
60° + 3p = 0°
30° + 2p = 90°
p = − 20°
p = 30°
Vergelyking: y = 2. sin 3(x − 20°)
Vergelyking: y = − 3. cos 2(x + 30°)
= 2 sin 3(x − 20°)
= − 3 cos 2(x + 30°)
2.5
y = a sin k(x + p)+ q
2.6
y = a cos k(x + p) + q
Die grafiek slinger om y = − 2
Die grafiek slinger om y = − 2
en dus q = − 2
en dus q = − 2
amplitude = 3 en dus a = 3
amplitude = 3 en dus a = 3
360°
periode = 360° en k = 1
periode = 180° en k = ———  = 2
180°
Daar is geen horisontale translasie nie en p = 0°
Daar is geen horisontale translasie nie en p = 0°
Vergelyking: y = 3. sin (x + 0°) − 2
Vergelyking: y = 3. cos 2(x + 0°) − 2
= 3 sin x − 2
= 3 cos 2x − 2
3.1
A(− 150°;0);  B(− 135°;0);C(− 45°;0);  D(30°;0); E(45°;0); F(135°;0)
3.2
periode = 360°
3.3
sin (x − 30°) = cos 2x
= sin (90° − 2x)
x − 30° = 90° − 2x + n.360°
OF
x − 30° = 180° − (90° − 2x) + n.360°
3x = 120° + n.360°
x − 30° = 180° − 90° + 2x + n.360°
x = 40° + n.120° ;  n ∈ Z
− x = 120° + n.360°
x = − 120° − n.360°
Oplossing : x = − 120° −0.360° ; 40° − 1.120° ; 40° + 0.120°  ; 40° + 0.120°
Oplossing : x = − 120° ; − 80° ; 40° ; 160°
4.1
amplitude van cos-grafiek = 2 en dus a = 2; die cos-grafiek bereik 0 by 60° i.p.v. 90°
sodat die grafiek 30° na links verskuif is en dus b = 30°
die sin-grafiek slinger om y = 1 sodat c = 1 ; die periode = 180° en dus d = 2.
4.2
f(x) = 2 cos (x + 30°)
f(0) = 2 cos (0 + 30°) = 2 cos 30° = √3
4.3.1
x = 45° en x = −135°
4.3.2
f en g sny by (−90° ; 1) en by (13,5° ; 1,45); dus oplosiing: −90° ≤ x ≤ 13,5°
4.4
y = 2 cos x
5.1
amplitude van cos-grafiek = 1 en dus a = 1; die cos-grafiek bereik 1 by 30° i.p.v. 0°
sodat die grafiek 30° na regs verskuif is en dus b = −30°
die sin-grafiek het 'n periode = 360° en dus c = 1.
5.2.1
Waardeversameling :  − 0,5 ≤ y ≤ 1
5.2.2
30° < x ≤ 90°
5.2.3
−90° ≤ x ≤ −60° en x = 0°
5.3
cos (x − 30°) = sin x
= cos (90° − x)
∴ x − 30° = 90° − x + n360°       n ∈ Z
∴ 2x = 120° + n360°
∴ x = 60° + n360°
∴ x = 60°
As g(x) > f(x) dan 60° < x ≤ 90°
6.1
amplitude = 2 en dus c = 2 en periode = 360° en dus d = 1
6.2
amplitude = 1 en dus a = 1;   f(60°) = 1 en dus is die grafiek 60° na regs verskuif sodat b  = − 60°
6.3
Waardeversameling: − 2 ≤ y ≤ 2
6.4
− 120° ≤ x ≤ − 30°
6.5
y = 2 sin (x − 30°)
7.1
Die periode van f = 180°.
7.2
Die amplitude = 1 en die periode = 180°
7.3
f(45°) = 0,5 en dus a = 0,5. Daar is geen horisontale verskuiwing nie sodat b = 0°
360°
c = 1 en d = ———  = 2
180°
7.4
B (0° ; 0);   C (60° ; 0,866);   D (120° ; − 0,866)   en  E (180° ; 0).
7.5
g(x) > f(x) as  − 90° < x < − 60°   OF  0° < x < 60°   OF  90°  < x < 120°
8.1
Die periode van f = 180°.
8.2
Daar is geen horisontale verskuiwing nie en f(45°) = 2 sodat a = 2 en b = 0°.
8.3
Die amplitude van g = 1.
8.4
c = 1 en daar is 'n 45° verskuiwing na links sodat d = + 45°
8.5
By A en B : cos (x + 45°)  = 0
cos (−90°) = 0 sodat x + 45° = − 90°   en dus x = − 135° daarom is A die punt (−135° ; 0)
cos (90°) = 0 sodat x + 45° = 90°  en dus x = 45° daarom is B die punt (45° ; 0)
8.6
2
8.7
f(x).g(x) ≤ 0 as 45° ≤ x < 90°
  
Na bo Oefening Oefeninge - Graad 11 Oefeninge - Graad 10 Oefeninge - Graad 12 Tuisblad