WISKUNDE
GRAAD 12
NOG OEFENINGE
  
Inverse van 'n funksie : antwoorde.
  
MATHEMATICS
GRADE 12
MORE EXERCISES
  
Inverse of a function : answers.
  
    
  
Ant. / Ans. 1.1

      f(x) = 2x + 5 
      y = 2x + 5 . . . Vervang f(x) met y /
                              Substitute y for f(x)
      x = 2y + 5 . . . Ruil x en y om / Swop x and y
      2y = x − 5
  
              1            5
      y = ── x  −  ──
              2            2
  
                     1              5
      f−1(x) = ── x   −   ──
                     2              2
  
  
  
Vr / Qu 1.1  

    
  
Ant. / Ans. 1.2

      f(x) = 4x − 7 
      y = 4x − 7 . . . Vervang f(x) met y /
                              Substitute y for f(x)
      x = 4y − 7 . . . Ruil x en y om / Swop x and y
      4y = x + 7
  
              1            7
      y = ── x  −  ──
              4            4
  
                     1              7
      f−1(x) = ── x   −   ──
                     4              4
  
  
  
Vr / Qu 1.2  

    
  
Ant. / Ans. 1.3

      f(x) = 3 − 2x 
      y = 3 − 2x . . . Vervang f(x) met y /
                              Substitute y for f(x)
      x = 3 − 2y . . . Ruil x en y om / Swop x and y
      2y = 3 − x
  
              3         1
      y = ──  −  ──  x
              2         2
  
                     3            1
      f−1(x) = ──   −   ──  x
                     2            2
  
  
  
Vr / Qu 1.3  

    
  
Ant. / Ans. 1.4

      f(x) = − 5x − 6 
      y = − 5x − 6 . . . Vervang f(x) met y /
                                Substitute y for f(x)
      x = − 5y − 6 . . . Ruil x en y om / Swop x and y
      5y = − x − 6
  
                  1            6
      y = −  ── x  −  ──
                  5            5
  
                         1              6
      f−1(x) = −  ── x   −   ──
                         5              5
  
  
  
Vr / Qu 1.4  

  2.1  
  
      f(x) = 3x − 9
          y = 3x − 9 . . . Vervang f(x) met y /
                                 Substitute y for f(x)
           x = 3y − 9 . . . Ruil x en y om / Swop x and y
         3y = x + 9
  
                  1
           y = ──  x  + 3
                  3
  
  
  2.2  f(x) = 3x − 9
             y = 3x − 9 . . . Vervang f(x) met y /
                                     Substitute y for f(x)
             x = 3y − 9 . . . Ruil x en y om / Swop x and y
           3y = x + 9
  
                     1
             y = ── x + 3
                     3
  
    grafieke / graphs
  
      
  
                                                                                                1
    Y-afsnitte / Y-intercepts :     f :  y = 3(0) − 9   ||    g :  y = ── (0) + 3
                                                                                                3
                                                        (0 ; − 9)        ||                (0 ; 3)
                                                                                                1
    X-afsnitte / X-intercepts :     f :  0 = 3x − 9   ||    g :  0 = ── x + 3
                                                                                                3
                                                         x = 3           ||           x = − 9
                                                        (3 ; 0)          ||          (− 9 ; 0)
  
  
Vraag / Question 2  

  3.1  
  
      f(x) = − 2x + 6
          y = − 2x + 6 . . . Vervang f(x) met y /
                                     Substitute y for f(x)
           x = − 2y + 6 . . . Ruil x en y om / Swop x and y
         2y = −x + 6
  
                      1
           y = − ──  x  + 3
                      2
  
  
  3.2  f(x) = −2x + 6   of / or    y = −2x + 6
  
                            1                                         1
          f−1(x) = − ──  x  + 3   of / or    y = − ──  x  + 3
                            2                                         2
    grafieke / graphs
  
      
  
  
                                            y = −2x + 6
  
    Y-afsnit / Y-intercept  :   y = −2(0) + 6
                                            y = 6
  
    Y-afsnit / Y-intercept  :  (0 ; 6)
  
                                            y = −2x + 6
                                            0 = −2x + 6
                                            x = 3
  
    X-afsnit / X-intercept  :  (3 ; 0)
  
  
  
                                                        1
                                            y = − ─── x + 3ASD
                                                        2
  
                                                        1
    Y-afsnit / Y-intercept  :   y = − ─── (0) + 3
                                                        2
                                            y = 3
    Y-afsnit / Y-intercept  :  (0 ; 3)
  
                                                        1
    X-afsnit / X-intercept  :   0 = − ─── x + 3
                                                        2
                                              x = 6
    X-afsnit / X-intercept  :  (6 ; 0)
  
  4.1     f(x) = 2x2
                y = 2x2 . . . Vervang f(x) met y /
                                   Substitute y for f(x)
                x = 2y2 . . . Ruil x en y om / Swop x and y
           2y2  = x
  
                          x
              y2  =  ──
                          2
  
                 y = ± √ (x / 2)
         g(x) = f−1 (x) = ± √ (x / 2)
  
  4.3  f(x) : Definisieversameling  / Domain
                    {x | x ∈ R}
                 Waardeversameling / Range
                     {y | y ≥ 0;  y ∈ R}
        g(x) :  Definisieversameling / Domain
                        {x | x ≥ 0;  x ∈ R}
                     Waardeversameling / Range
                        {y | y ∈ R}
 
 
  4.2  grafieke / graphs
  
    
 
  
  
  
  
  4.4   f : g(x) = 2x2
                y = 2x2 . . . Vervang f(x) met y /
                                   Substitute y for f(x)
                x = 2y2 . . . Ruil x en y om / Swop x and y
           2y2  = x
  
                          x
              y2  =  ──
                          2
  
                 y = ± √ (x / 2)
         g−1 (x) = ± √ (x / 2) ;  y ≥ 0
  
  4.6  f : Definisieversameling  / Domain
                    {x | x ∈ R}
                 Waardeversameling / Range
                     {y | y ≥ 0;  y ∈ R}
        g :  Definisieversameling / Domain
                        {x | x ≥ 0;  x ∈ R}
                     Waardeversameling / Range
                        {y | y ∈ R}
  
  4.5  grafieke / graphs
  
      
 
  
  
  
  5.1     y = ax2
                  By / At P :  − 3 = a(1)2
                                         a = − 3
                                     g(x) = − 3x2
  
  5.2     y = − 3x2    . . . vervang g(x) met y
                                      substitute y for f(x)
            x = − 3y2 . . . Ruil x en y om / Swop x and y
       − 3y2  = x
  
                           x
            y2  = −  ──
                           3
  
              y = ± √ (x / 3)
  
         g−1 (x) = ± √ (x / 3)
  
  
  
  5.4  grafieke / graphs
  
    
 
  
    
  5.3                                                                   g(x)                                  g  −1 (x)
          Definisieversameling / Domain  :  {x |  x ∈ R}                    {x |  x ≥ 0;  x ∈ R}
          Waardeversameling / Range      :  {y |  y ≥ 0;  y ∈ R}         {y |  y ∈ R}
  6.1     f(x) = px2
            By / At A :  − 4 = p(−4)2
  
                                               1
                                   p = −  ──
                                               4
                                 f(x) = − (1/4)x2
  
  6.2     y = mx + c
  
            By / At Y-as / Y-axis :  y = mx − 3
            By / At A                   :  −4 = m(− 4) − 3
                                                  m = (1/4)
                                               g(x) = (1/4)x  −  3
                                                   x = 12
           x-afsnit / x-intercept  is (12 ; 0)
  
  
  
  
  6.3  grafieke / graphs
  
    
  
  7.1     f(x) = x2   : y = x2
           (x ; y)    →  (y ; x)    x = y2
                                          y = ± √x
                                          f − 1 (x) = ± √x
  
  
  7.3     x ≥ 0  OF / OR   x ≤ 0
  
  
  
  
  7.2  grafieke / graphs
  
    
  
  8.1     f(x) = y = (x − 1)2  − 4
            DP / TP  is (1 ; 4)
            Y-afsnit / Y-intercept  : y = (0 − 1)2 − 4
                                                     = − 3
            Y-afsnit / Y-intercept  is  (0 ; − 3)
            X-afsnitte / X-intercepts  : 
                                 (x − 1)2 − 4  = 0
                                       (x − 1)2  = 4
                                         (x − 1) = ± √4
                                         (x − 1) = ± 2
                                         x = 3  of / or  x = − 1
                                         (3 ; 0)  of / or  ( 1 ; 0)
  
  
  8.2     E is die punt  /  the point  (− 4 ; 1)
  
             F is die punt  /  the point  (0 ; 3)
  
             G is die punt  /  the point  (0 ; − 1)
  
             H is die punt  /  the point  (− 3 ; 0)
  
  
  8.3     EHF    (x ≤ 1  →  y ≤ 1)
  
  
  9.1  Draaipunt gegee gebruik / 
           Turning point given use
            y = a(x - p)2  +  q
       By / At  (2 ; −4) : y = a(x − 2)2  −  4
       By / At  (0 ; 0) :   0 = a(0 − 2)2  −  4
                                    0 = 4a  −  4
                                    a = 1
                                 f(x) = (x − 2)2  −  4
                                       = x2  −  4x  +  4  −  4
                                       = x2  −  4x
  
  9.2  By / At B :  x(x − 4) = 0
                            x = 0  of / or  x = 4
                            B (4 ; 0)
  
  9.3   f(x) is 'n een-tot-baie funksie omdat vir elke
           y-waarde is daar twee
           ooreenstemmende x-waardes.
  
           f(x) is a one-to-many function because for
           every y-value there are two
           corresponding x-values.
  
  
  9.5   
  
  9.4                     Definisieversameling / Domain           Waardeversameling / Range
             f(x)                   { x | x ∈ ℜ}                                            { y | y ≥ − 4  ; y ∈ ℜ}
             f −1 (x)              { x | x ≥ − 4  ; x ∈ ℜ}                            { y | y ∈ ℜ}
  
  9.6    y ≤ 2   OF / OR   y ≥ 2
  
  
  10.1  Draaipunt gegee gebruik / 
           Turning point given use
            y = a(x - p)2  +  q
       By / At  (− 1 ; 4) : y = a(x + 1)2  +  4
       By / At  (0 ; 3) :   3 = a(0 + 1)2  +  4
                                    3 = a  +  4
                                    a = − 1
                                 g(x) = − (x + 1)2  +  4
                                         = − x2  −  2x  +  3
                                         = 3 − 2x − x2
  
  10.2  By / At S en / and T :  − x2 − 2x + 3 = 0
                            x2 + 2x − 3 = 0
                            (x + 3)(x − 1) = 0
                            x = − 3  of / or  x = 1
                            S (− 3 ; 0)  OF / OR  T (1 ; 0)
  
  10.3                 Definisieversameling / Domain
             g(x)               { x | x ∈ ℜ}
             g −1(x)          { x | x ≤ 4  ; x ∈ ℜ}
  
                          Waardeversameling / Range
             g(x)               { y | y ≤ 4  ; y ∈ ℜ}
             g −1(x)          { y | y ∈ ℜ}
  
  
  10.4   
  
  10.5   g(x)  :                   y =  − (x + 1)2  + 4
            g− 1(x)  :               x = − (y + 1)2  + 4
                              (y + 1)2  = 4  −  x
                              (y + 1)  =  ± √(4  −  x)
                                       y  =  ± √(4  −  x)  −  1
  
  
  11.1                                 y  =  a√x
             By / At   P(4 ; 1) : 1 = a√4
                                               =  2a
                                                     1
                                           a  =  ──
                                                     2
                                                     1
                                           y  =  ── √x
                                                     2
                                                     1
  11.2                                 x  =  ── √y
                                                     2
                                    (√y)2  =  (2x)2
                                          y  =  4x2
                                  f −1(x)  =  4x2
  
  11.3   Refleksie in x-as / Reflection is x-axis
                              (x ; y)  →  (x ; − y)
                           y = 4x2  →  − y = 4x2
                                 g(x) = − 4x2
  
  
  11.4   
  
  12.1  Draaipunt gegee gebruik / 
           Turning point given use
            y = a(x - p)2  +  q
           By / At  (1 ; −4) :  p = − 1;  q − 4
            ∴  y =  a(x − 1)2  −  4
           By / At  (2 ; −3) :    −3 = a(2 − 1)2  −  4
                                                = a−  4
                                             a = 1
            ∴  f(x) = (x − 1)2  −  4
  
  12.2  f−1(x)  :  
               y = (x − 1)2  −  4  →  y = (x − 1)2  −  4
                                                  x = (y − 1)2  −  4
                                         (y − 1) =  √(x + 4)
                                                  y =  √(x + 4)  +  1
            ∴  f−1(x) = √(x + 4)  +  1  ;  y ≥ 1
            X-afsnit   geen X-afsnit nie, y ≥ 1  /
            X-intercept   no X-intercept, y ≥ 1
            Y-afsnit / Y-intercept   
                y = √(0 + 4)  +  1
                  =  2  +  1
                  = 3
            Y-afsnit / Y-intercept  is (0 ; 3)
  
  
  12.4   
  
  12.3   g(x)  :  Refleksie in X-as / Reflection in X-axis   (x ; y)  →  (x ; −y)
                          ∴  y = (x − 1)2  −  4   →  − y = (x − 1)2  −  4
                                                                      y = − (x − 1)2  −  4
                g(x) = − (x − 1)2  −  4
  
  
  
  
  
  
  13.5 
  
  14.1    f(x) =  2x
                y  =  2x
                x  =  2y       ruil x en y om / swop x and y
                y  =  log2 x
                f −1 (x) = log2 x
  
              ONTHOU : As f(x) = 5x, dan kan jy sy
                                    inverse dadelik neerskryf as
                                    f −1 (x) = log5 x
  
  14.3    h(x) =  5x
              Skryf direk neer / Write down directly
                h −1 (x) = log5 x
  
  
  14.5    q(x) =  4 −x
              q(x)  =  (1/4)x
              q −1 (x) = log(1/4) x
              q −1 (x) = − log4 x
  
  
  14.1    f(x) =  2x
                y  =  2x
                x  =  2y       ruil x en y om / swop x and y
                y  =  log2 x
                f −1 (x) = log2 x
  
              REMEMBER : If f(x) = 5x, then you can
                                         write down its inverse
                                         as f −1 (x) = log5 x
  
  14.4    p(x) =  (1/2)x
              Skryf direk neer / Write down directly
                p −1 (x) = log(1/2) x
              p −1 (x) = − log2 x
  
  14.6    r(x) =  7 −x
              r(x)  =  (1/7)x
              r −1 (x) = log(1/7) x
              r −1 (x) = − log7 x
  
  
  15.1   f(x) =  ax
             By / At  P(3 ; 8)  :   8  =  a3
                                            a3  =  23
                                              a  =  2
                                           f(x)  =  2x
  
  15.2   Definisieversameling / Domain
             {x | x ∈ ℜ}
              Waardeversameling / Range
             {y | y > 0;  y ∈ ℜ}
  
  15.3   X-afsnit / X-intercept  :  
                    Geen X-afsnit nie want y > 0
                    No X-intercept because y > 0
              Y-afsnit / Y-intercept  is  (0 ; 1)
  
  15.4   f−1 (x)  :  y = log2 x
  
  15.5   X-afsnit / X-intercept  is  (1 ; 0)
             Y-afsnit / Y-intercept  :  
                    Geen Y-afsnit nie want x > 0
                    No Y-intercept because x > 0
  
  
  15.6   
  
  16.1   f(x) =  ax
             By / At  (−3 ; 27)  :   27  =  a−3
                                            a−3  =  (3−1)−3
                                                a  =  3−1  =  1/3
             f(x)  =  (3−1)x  =  (1/3)x
  
  16.3   Refleksie in X-as /  Reflection in X-axis :
             (x ; y) → (x ; −y)  :  
                   y  =  (3−1)x  →  −y  =  (3−1)x
                                               y  =  − (3−1)x
                   h(x)  =  − (3−1)x  =  − (1/3)x
  
  16.5   x ≤ 0   of / or  x ≥ 0
  
  16.2   f(x) =  3x   :  y =  3x
              f−1 (x)  :       x =  3y
                                   y =  log3 x
              f−1 (x)  =  log3 x
  
  
  16.4   g(x) =  9x2   :  y =  9x2
                                     x =  9y2
  
                                                  √x
                                     y =  ± ────
                                                    3
  
  
  
  
  17.1   f(x) =  px                          y =  px
             By / At  A(−2 ; 25)  :   25  =  p−2
                                                  52  =  (p−1)2
                                                  5  =  p−1
                                                  p  =  5−1
           f(x) =  (1/5)x  =  5− x
  
  17.2   Refleksie in X-as /  Reflection in X-axis :
             (x ; y) → (x ; −y)  :  
                   y  =  (5−1)x  →  −y  =  (5−1)x
                                               y  =  − (5−1)x
                   g(x)  =  − (5−1)x  =  − (1/5)x
  
  17.3   Refleksie in y = x /  Reflection in y = x :
             (x ; y) → (y ; x)  :  
                   y  =  (5−1)x  →  x  =  (5−1)y
                                              y  =  log(1/5) x  =  − log5 x
                   h(x)  =  log(1/5) x  =  − log5 x
  
  17.4   
  
  17.5                                                                           f(x)                                    g(x)
          Definisieversameling  /  Domain             {x | x ∈ ℜ}                   {x | x ≥ 0;  x ∈ ℜ}
          Waardeversameling  /  Range             {y | y ≥ 0;  y ∈ ℜ}                   {y | y ∈ ℜ}
  
  18.1   f(x) =  logb x             y =  logb x
             By / At  A(8 ; 3)  :   3  =  logb 8
                                           b3  =  8  =  23
                                             b  =  2
           f(x) =  log2 x
  
  18.2   Refleksie in X-as /  Reflection in X-axis :
             (x ; y) → (x ; −y)  :  
                   y  =  log2 x  →  −y  =  log2 x
                                               y  =  − log2 x
                                               y  =  log(1/2) x
                                                      [− logb a  =  log(1/b) a]
                g(x)  =  − log2 x  =   log(1/2) x
  
  18.3   Refleksie in y-as /  Reflection in y-axis :
             (x ; y) → (− x ; y)  :  
                   y  =  log2 x  →  y  =  log2 − x
                   h(x)  =  log2 (− x)
  
  18.4   
  
  
Oefening Oefeninge - Graad 12 Oefeninge - Graad 10 Oefeninge - Graad 11 Tuisblad
  
Exercise Exercises - Grade 12 Exercises - Grade 10 Exercises - Grade 11 Home page