WISKUNDE
GRAAD 12
NOG OEFENINGE
  
Identiteite : antwoorde.
  
MATHEMATICS
GRADE 12
MORE EXERCISES
  
Identities : answers.
  
1.
LK / LHS =  (sin θ + cos θ)2
=  sin2 θ + 2 sin θ cos θ + cos2 θ
=  1 + 2 sin θ cos θ
=  1 + sin 2 θ
= RK / RHS
Vr/Qu 1.
2.
LK / LHS =  tan 225° − sin 2θ
=  tan (180° + 45°) − 2 sin θ cos θ
=  tan 45° + 2 sin θ cos θ
=  1 + sin 2 θ
= RK / RHS
Vr/Qu 2.
3.
LK / LHS =  cos 79° . cos 311°  +  sin 101° . sin 49°
=  cos 79° . cos (360° − 49°)  +  sin (180° − 79°) . sin 49°
=  cos 79° . cos 49°  +  sin 79° . sin 49°
=  cos (79° − 49°)
=  cos 30°
√3
=  ──
2
= RK / RHS
Vr/Qu 3.
4.
LK / LHS =  sin 175° . cos 65°  +  sin 95° . sin 115°
=  sin 175° . cos 65°  +  sin (270° −175°) . sin (180° −65°)
=  sin 175° . cos 65°  +  cos 175° . sin 65°
=  sin (175° +  65°)  =  sin 240°
=  sin (180° + 60°)  =  − sin 60°
√3
=  − ──
2
= RK / RHS
Vr/Qu 4.
5.
LK / LHS =  cos (90° + A) . tan (180° − A)
=  − sin A . (− tan A)
sin A
sin A
sin2 A
=  ────  ×  ────  =  ─────
1
cos A
cos A
1 − cos2 A
1
cos2 A
=  ────────  =  ─────  −  ───────
cos A
cos A
cos A
1
=  ─────  −  cos A
cos A
1
=  ──────────  +  cos (180° + A)
cos (360° − A)
= RK / RHS
Vr/Qu 5.
6.
LK / LHS =  √3 sin (x + 60°)  −  sin (x + 30°)
=  √3 (sin x . cos 60° + cos x . sin 60°)  −  (sin x . cos 30° + cos x . sin 30°)
1
√3
√3
1
=  √3 (sin x × ── + cos x × ──)  −  (sin x × ── + cos x × ──)
2
2
2
2
√3
3
√3
1
=  ── sin x  +  ── cos x  −  ── sin x − ── cos x
2
2
2
2
3
1
=  (── − ──) cos x
2
2
=  cos x
= RK / RHS
Vr/Qu 6.
7.
LK / LHS =  cos (A + B)  ×  cos (A − B)
=  (cos A . cos B  −  sin A . sin B)(cos A . cos B  +  sin A . sin B)
=  cos2 A . cos2 B  −  sin2 A . sin2       . . . (a+b)(a−b) = a2 − b2
= RK / RHS
Vr/Qu 7.
8.
LK / LHS =  (tan x − 1)(sin 2x − 2 cos2 x)
=  (tan x − 1)(2 sin x . cos x  −  2 cos2 x)
=  sin x . 2 sin x − 2 sin x . cos x  −  2 sin x . cos x  +  2 cos2 x     . . . vereenvoudig / simplify
=  2 sin2 x  −  4 sin x . cos x  +  2 cos2 x
=  2 (sin2 x + cos2 x)  −  4 sin x . cos x
=  2  −  4 sin x . cos x
=  2 (1 − 2 sin x . cos x)
= RK / RHS
Vr/Qu 8.
1  −  sin 2x
9.
LK / LHS =  ──────────
sin x  −  cos x
1  −  2 sin x . cos x
=  ─────────────
sin x  −  cos x
sin2 x  −  2 sin x . cos x  −  cos2 x
=  ──────────────────────
sin x  −  cos x
(sin x − cos x)2
=  ───────────
sin x  −  cos x
=  sin x  −  cos x      . . . sin x  −  cos x ≠ 0
= RK / RHS
Vr/Qu 9.
2 sin x  +  sin 2x
10.
LK / LHS =  ───────────────
4 + 3 cos x  −  cos 2x
2 sin x  +  2 sin x . cos x
=  ───────────────────
4 + 3 cos x  −  (2 cos2 x − 1)
2 sin x (1 +  cos x)
2 sin x (1 +  cos x)
=  ───────────────   =   ───────────────
5 + 3 cos x − 2 cos2 x
(5 − 2 cos x)(1 + cos x)
2 sin x
=  ────────
5 − 2 cos x
= RK / RHS
Vr/Qu 10.
4 sin θ . cos θ . cos 2θ . sin 15°
11.
LK / LHS =  ──────────────────────
sin 2θ (tan 225°  −  sin2 θ)
4 sin θ . cos θ . (cos2 θ − sin 2 θ) . sin 15°
=  ────────────────────────────                . . . 2 sin θ cos θ ≠ 0
2 sin θ . cos θ (tan (180° + 45°)  −  sin2 θ)
2 . (cos2 θ − sin 2 θ) . sin 15°
=  ────────────────────
tan 45°  −  sin2 θ)
2 cos 2θ . sin 15°
2 cos 2θ . sin 15°
=  ─────────────  =  ─────────────
1  −  sin2 θ
cos 2 θ
=  2 sin 15°                . . .  cos 2θ ≠ 0
=  2 sin (45° − 30°)   =   2(sin 45° cos 30° −  cos 45° sin 30°)
1      √3
1       1
√3 − 1         √2
=  2 ( ── × ──   −  ── × ──)   =  ─────  ×  ──
√2       2
√2      2
√2            √2
√3  √2  −  √2
√6  −  √2
=  ─────────   =  ───────
2
2
= RK / RHS
Vr/Qu 11.
1 − sin 2θ
1 − 2 sin θ cos θ
12.
LK / LHS =  ─────────   =   ────────────
cos 2θ
cos2 θ − sin2 θ
sin2 θ + cos2 θ − 2 sin θ cos θ
(cos θ − sin θ)2
=  ─────────────────────   =   ─────────────────────
(cos θ − sin θ)(cos θ + sin θ)
(cos θ − sin θ)(cos θ + sin θ)
cos θ − sin θ
=  ──────────
cos θ + sin θ
cos θ       sin θ
────  −  ────
cos θ       cos θ
=  ────────────
cos θ       sin θ
────  +  ────
cos θ       cos θ
1 − tan θ
=  ────────────
1 + tan θ
= RK / RHS
Vr/Qu 12.
cos A
cos A
sin A
13.
LK / LHS =  ───────  −  tan A   =   ───────  −  ─────
1 − sin A
1 − sin A
cos A
cos A × cos A  −  sin A(1 − sin A)
cos2 A  −  sin A + sin2 A
=  ───────────────────────    =  ──────────────────
cos A(1 − sin A)
cos A(1 − sin A)
1  −  sin A
=  ────────────      . . . sin2 A + cos2 A = 1
cos A(1 − sin A)
1
=  ─────      . . . 1  −  sin A ≠ 0
cos A
= RK / RHS
Vr/Qu 13.
2 sin2 α
2 sin2 α
14.
LK / LHS =  ────────────   =   ──────────────────
2 tan α  −  sin 2α
2 sin A
──────  − 2 sin A cos A
cos A
2 sin2 α
=  ──────────────────
2 sin α  − 2 sin α cos2 α
────────────────
cos α
2 sin2 α cos α
2 sin2 α cos α
=  ─────────────────   =   ────────────────────
2 sin α  − 2 sin α cos2 α
2 sin α  − 2 sin α (1 − sin2 α)
2 sin2 α cos α
cos α
=  ───────────  =  ─────
2 sin α sin2 α
sin α
1
=  ─────
tan α
= RK / RHS
Vr/Qu 14.
sin 2x − tan x
15.
LK / LHS =  ───────────
cos 2x
sin x
2 sin x cos2 x − sin x
2 sin x cos x  −  ────
────────────────
cos x
cos x
=  ──────────────────   =   ──────────────────
2 cos2 x − 1
2 cos2 x − 1
2 sin x cos2 x − sin x
=  ───────────────
cos x (2 cos2 x − 1)
sin x (2 cos2 x − 1)
=  ───────────────
cos x (2 cos2 x − 1)
sin x
=  ──────   =   tan x
cos x
= RK / RHS
Vr/Qu 15.
2 sin2 x − sin 2x
16.
LK / LHS =  ─────────────
1 − 2 sin x cos x
2 sin2 x − 2 sin x cos x
2 sin x(sin x − cos x)
=  ────────────────   =   ───────────────
1 − 2 sin x cos x
(sin x − cos x)2
2 sin x
──────
cos x
2 sin x
=  ─────────      =   ─────────────
sin x − cos x
sin x
cos x
────  −  ─────
cos x
cos x
2 tan x
=  ───────
tan x − 1
= RK / RHS
Vr/Qu 16.
sin 2θ − cos 2θ + 1
17.
LK / LHS =  ─────────────
sin 2θ + cos 2θ + 1
2 sin θ cos θ  −  (cos2 θ − sin2 θ)  +  (sin2 θ + cos2 θ)
=  ───────────────────────────────────
2 sin θ cos θ  +  (cos2 θ − sin2 θ)  +  (sin2 θ + cos2 θ)
2 sin θ cos θ  −  cos2 θ + sin2 θ  +  sin2 θ + cos2 θ
=  ───────────────────────────────────
2 sin θ cos θ  +  cos2 θ − sin2 θ  +  sin2 θ + cos2 θ
2 sin θ cos θ  +  2 sin2 θ
2 sin θ(cos θ + sin θ)
=  ─────────────────   =   ─────────────────
2 sin θ cos θ  +  2 cos2 θ
2 cos θ(sin θ + cos θ)
sin θ
=  ─────   =   tan θ
cos θ
= RK / RHS
Vr/Qu 17.
sin 3α         cos 3α
sin (2α + α)           cos (2α + α)
18.
LK / LHS =  ─────  +  ─────   =   ─────────  +  ──────────
sin α            cos α
sin α                        cos α
sin 2α cos α + cos 2α sin α
cos 2α cos α  −  sin 2α sin α
=  ──────────────────   +   ───────────────────
sin α
cos α
2 sin α cos α . cos α + (2 cos2 α − 1)sin α
cos 2α cos α  −  (2 sin α cos α) sin α
=  ───────────────────────────   +   ────────────────────────
sin α
cos α
sin α(2 cos2 α + 2 cos2 α − 1)
cos α (cos 2α  −  2 sin2 α)
=  ────────────────────   +   ─────────────────
sin α
cos α
=  4 cos2 α  − 1   +   2 cos2 α − 1  −  2 (1 − cos2 α)
=  8 cos2 α  − 4    =    4(2 cos2 α − 1)
=  4 cos 2 α
= RK / RHS
Vr/Qu 18.
1
1
19.
RK / RHS =  ─────────   =   ──────────
sin (45° + θ)
tan (45° + θ)
──────────
cos (45° + θ)
cos (45° + θ)
cos 45° cos θ − sin 45° sin θ
=  ──────────   =   ────────────────────
sin (45° + θ)
sin 45° cos θ + cos 45° sin θ
1
─── (cos θ − sin θ)
√2
cos θ − sin θ
=  ───────────────   =   ───────────
1
─── (cos θ + sin θ)
√2
cos θ + sin θ
= RK / RHS
Vr/Qu 19.
1 − cos 2A
1 − (cos2 A − sin2 A)
20.
LK / LHS =  ─────────   =   ───────────────
sin 2A
2 sin A cos A
1 − cos2 A + sin2 A
=  ──────────────
2 sin A cos A
2 sin2 A
=  ───────────
2 sin A cos A
sin A
=  ─────    =    tan A
cos A
= RK / RHS
Vr/Qu 20.
sin A
1 + cos A
21.
LK / LHS =  ─────────   +   ────────
1 + cos A
sin A
sin A . sin A  +  (1 + cos A)(1 + cos A)
=  ───────────────────────────
sin A (1 + cos A)
sin2 A  +  1 + 2 cos A + cos2 A
1 +  1 + 2 cos A
=  ───────────────────────    =    ─────────────
sin A (1 + cos A)
sin A (1 + cos A)
2 (1 + cos A)
=  ──────────────
sin A (1 + cos A)
2
=  ─────
sin A
= RK / RHS
Vr/Qu 21.
cos x + cos 2x + 1
22.
LK / LHS =  ─────────────
sin x + sin 2x
cos x + 2 cos2 x − 1 + 1
cos x (1 + 2 cos x)
=  ────────────────    =    ─────────────
sin x + 2 sin x cos x
sin x (1 + 2 cos x)
cos x
1
=  ─────    =    ─────
sin x
tan x
= RK / RHS
Vr/Qu 22.
1
1 + sin 2x
23.
LK / LHS =  ──────  +  tan 2x    =    ────────
cos 2x
cos 2x
cos2 x + sin2 x  +  2 sin x cos x
(cos x + sin x) (cos x + sin x)
=  ────────────────────    =    ───────────────────
cos2 x − sin2 x
(cos x − sin x) (cos x + sin x)
cos x + sin x
=  ─────────
cos x − sin x
= RK / RHS
Vr/Qu 23.
sin x . cos x
sin x . cos x
─────────
cos2 x
24.
LK / LHS =  ────────────    =    ─────────────
cos2 x  −  sin2 x
cos2 x  −  sin2 x
───────────
cos2 x
sin x
─────
cos x
=  ────────────
sin2 x
1   −  ──────
cos2 x
tan x
=  ─────────
1  −  tan2 x
= RK / RHS
Vr/Qu 24.
25.
LK / LHS =  cos 4x  =  cos (2 × 2x)
=  2 cos2 2x  −  1
=  2 (2 cos2 x − 1)2  −  1
=  2 (4 cos2 x − 4 cos x + 1)  −  1
=  8 cos2 x − 8 cos x + 2  −  1
=  8 cos2 x − 8 cos x + 1
= RK / RHS
Vr/Qu 25.
26.
LK / LHS =  2 cos 5A cos 3A  −  cos 8A  +  2 sin2 A
=  2 cos 5A cos 3A  −  (cos 5A cos 3A  −  sin 5A sin 3A)  +  2 sin2 A
=  cos 5A cos 3A  +  sin 5A sin 3A  +  2 sin2 A
=  cos 5A cos 3A  +  sin 5A sin 3A  +  2 sin2 A
=  cos (5A − 3A)  +  2 sin2 A
=  cos 2A  +  2 sin2 A
=  cos2 A  −  sin2 A  +  2 sin2 A
=  cos2 A  +  sin2 A
=  1
= RK / RHS
Vr/Qu 26.
  
Na bo Oefeninge - Graad 12 Oefeninge - Graad 10 Oefeninge - Graad 11 Tuisblad
  
To the top Exercises - Grade 12 Exercises - Grade 10 Exercises - Grade 11 Home page