WISKUNDE
GRAAD 12
NOG OEFENINGE
  
Oplos van 2D en 3D figure : antwoorde.
  
MATHEMATICS
GRADE 12
MORE EXERCISES
  
Solving 2D and 3D figures : answers.
  
Antwoord / Answer 1
1.1
Opperv. / Area ΔTKM = 1/2 ×TM × KT
= 1/2 × 28 × 21   vk. eenhede/square units
= 294 vk. eenhede/square units
1.2
KM2 = KT2  +  TM2   . . . Pythagoras
= 212  +  282  =  1225
KM = √1225 = 35
In ΔKML : Opperv. / Area ΔKML = 1/2 ×KM × ML × sin θ
1/2 × 35 × 18 × sin θ  =  294
294
14 × 21
sin θ  =  ────      =  ───────
315
15 × 21
14
=  ────
15
1.3
θ = 69°
Vraag / Question 1
Antwoord / Answer 2
BC
In δABC is cos z = ────
AC
∴ BC = AC cos z           . . .  (1)
In ΔACD kan AC nou m.b.v. die sinus-reël bereken word omdat genoeg gegewens bekend is.
In ΔACD AC can now be calculated using the sine rule because enough information is known.
∠ADC = 180° − (∠CAD + ∠ACD)
AC
CD
───────  =  ────────
sin ADC
sin CAD
 sin (180° − (x + y))
 sin (x + y)
AC  =  ────────────────   =   ──────────
sin x
sin x
 sin (x + y)  cos z
In / Into (1):  BC  =  ────────────────
sin x
Vraag / Question 2
Antwoord / Answer 3
In ΔABC is ∠BAC = y − x
∠ACB = 180° − (∠BAC + ∠ABC)
= 180° − ((y − x) + (w + x))
= 180° − (y + w)
Pas nou die sinus-reël in ΔABC toe. / Now apply the sine rule in ΔABC.
AC
AB
───────  =  ────────
sin B
sin ACB
AB  sin (w + x)
∴ AC  =  ────────────
sin (y + w)
Vraag / Question 3
Antwoord / Answer 4
4.1
In ΔACD kan ons CD m.b.v. die cos-reël bereken as AD en AC bekend is. /
In ΔACD we can calculate CD by means of the cos-rule if AD and AC are known.
In ΔDAB :  ∠ADB = 180° − (59° + 46° + 29°)  =  46°
AD
AB
───────  =  ────────  :  sinus-reël / sine rule
sin ABD
sin ADB
400  sin 29°
AD  =  ─────────   =   269,5858731...
sin 46°
In ΔABC :  ∠ACB = 180° − (46° + 29° + 55°)  =  50°
AC
AB
───────  =  ────────  :  sinus-reël / sine rule
sin ABC
sin ACB
400  sin 84°
AC  =  ─────────   =   519,3024526...
sin 50°
In ΔACD :  CD2 = AD2 + AC2 − 2 × AD × AC × cos CAD
= 269,58587312 + 519,3024526...2 − 2 × 269,5858731 × 519,3024526... × cos 59°
CD = 354,59
AD
CD
4.2
In ΔACD :   ───────  =  ────────
sin ACD
sin CAD
269,5858731...  sin 59°
sin ACD  =   ────────────────
354,5947...
=  0,651674...
∠ACD  =  40,67°
Vraag / Question 4
Antwoord / Answer 5
In ΔCFD kan ons CD m.b.v. die
In ΔCFD can be calculated using the
sin-reël bereken as CF, ∠CFD en ∠FCD
sine rule if CF, ∠CFD and ∠FCD
bekend is.
are known.
In ΔACF kan ons CF m.b.v. die
In ΔACF CF can be calculated using the
sin-reël bereken as AF, ∠CAF en ∠ACF
sine rule if AF, ∠CAF and ∠ACF
bekend is.
are known.
In ΔACF :  AF = p,  ∠CAF = x − y
In ΔCFD :  ∠DFE = ∠FAB = y    . . . verw. / alt., EF || AB     ;  ∠CFD = ∠CFE − ∠DFE  = w − y
∠FCD = 90° − w     ;  ∠CFD = 180° − ((90° − w) + (w − y))  = 90° + y
CD
CF
CF ⋅ sin (w − y)
───────  =  ────────  en dus / so that    CD  =  ───────────
sin CFD
sin CDF
sin (90° + y)
In ΔABC :  ∠ACF + ∠FCD + ∠CAB + ∠B = 180°
∠ACF + (90° − w) + x + 90° = 180°
∠ACF = 180° − 90° + w − x − 90°
= w − x
CF
AF
p ⋅ sin (x − y)
───────  =  ────────  en dus / so that    CF  =  ───────────
sin CAF
sin ACF
sin (w − x)
. sin (x − y) . sin (w − y)
CD  =  ─────────────────
sin (w − x) . cos y
Vraag / Question 5
Antwoord / Answer 6
In ΔACD kan ons AD en CD m.b.v. die
In ΔCFD AD and CD can be calculated
sin-reël bereken as AC, ∠ACD en ∠ADC
using the sine rule if AC, ∠ACD and
bekend is.
∠ADC are known.
CB
h
In ΔABC  :   ───  =  sin CAB   sodat / so that  AC = ────
AC
sin x
In ΔACD  :  ∠CAD = x − y;
∠ACD + ∠DCE + ∠CAB + ∠B  = 180°     . . .  binnehoeke ΔACD  /  int. angles ΔACD
∠ACD + (90° − w) + x + 90°  = 180°
∠ACD = w − x
∠ACD = 180° − (∠CAD + ∠ACD))
= 180° − ((x − y) + (w − x))
= 180° − (w − y)
AD
AC
AC . sin (w − x)
───────  =  ────────  en dus / so that  AD  =  ───────────────
sin ACD
sin ADC
sin (180° − (w − y))
. sin (w − x)
. sin (w − x)
AD  =  ─────────────────  =  ─────────────
sin x.  sin (180° − (w − y))
sin x.  sin (w − y)
CD
AC
AC . sin CAD
───────  =  ────────  en dus / so that  CD  =  ───────────────
sin CAD
sin ADC
sin (180° − (w − y))
. sin (x − y)
. sin (x − y)
CD  =  ─────────────────  =  ─────────────
sin x.  sin (180° − (w − y))
sin x.  sin (w − y)
. sin (w − x)
. sin (x − y)
AD + CD  =  ─────────────  +  ────────────
sin x.  sin (w − y)
sin x.  sin (w − y)
. (sin (w − x) + sin (x − y))
=  ────────────────────
sin x.  sin (w − y)
Vraag / Question 6
Antwoord / Answer 7
In ΔPSR kan ons SR m.b.v. die
In ΔPSR SR can be calculated using the
sin-reël bereken as PR en ∠PSR
sine rule if PR and ∠PSR
bekend is.
are known.
PQ
a
In ΔPQR  :   ───  =  cos QPR   sodat / so that  PR = ────
PR
cos y
In ΔPSR  :  ∠PSR = 180° − (x + w)
SR
PR
PR . sin SPR
───────  =  ────────  en dus / so that  SR  =  ───────────
sin SPR
sin PSR
sin PSR
. sin x
. sin x
SR  =  ─────────────────  =  ─────────────
cos y.  sin (180° − (w + x))
cos y.  sin (w + x)
Vraag / Question 7
Antwoord / Answer 8
In die "bewys" opdrag vestig die h en
In the "prove" instruction the h and the
die tan x jou aandag op ΔABD
tan x draw your attention to ΔABD
Bereken dus vir BD in ΔBCD
Calculate BD in ΔBCD
In ΔBCD kan ons BD m.b.v. die
In ΔBCD BD can be calculated using the
sin-reël bereken as BC en ∠BDC
sine rule if BC and ∠BDC
bekend is.
are known.
AD
In ΔABD  :  tan ABD =  ───   sodat / so that  AD = BD . tan ABD
BD
In ΔBDC  :  ∠BDC = 180° − (∠DBC + ∠DCB)
= 180° − (z + y)
BD
BC
BC . sin BCD
───────  =  ────────  en dus / so that  BD  =  ───────────
sin BCD
sin BDC
sin BDC
AD  =  BD . tan ABD
BC . sin BCD
h  =  ──────────  . tan ABD
sin BDC
. sin y . tan x
=  ─────────────
sin (180° − (z + y))
. sin y . tan x
=  ───────────
sin (y + z)
Vraag / Question 8
Antwoord / Answer 9
In die "bewys" opdrag vestig die a en
In the "prove" instruction the a and the
die tan z weereens jou aandag op ΔABD
tan z once again draw your attention
Bereken dus vir QR in ΔQRS
to ΔABD. Calculate QR in ΔQRS
In ΔQRS kan ons QR m.b.v. die
In ΔQRS QR can be calculated using the
sin-reël bereken as QS, ∠QRS en ∠QSR
sine rule if QS, ∠QRS and ∠QSR
bekend is.
are known.
PQ
In ΔPQR  :  tan PRQ =  ───   sodat / so that  PQ = QR . tan PRQ
QR
QR
QS
QS . sin QSR
In ΔQRS  :  ───────  =  ────────  en dus / so that  QR  =  ───────────
sin QSR
sin QRS
sin QRS
PQ  =  QR . tan PRQ
QS . sin QSR
=  ──────────  . tan PRQ
sin QRS
. sin y . tan z
=  ───────────
sin x
Vraag / Question 9
Antwoord / Answer 10
TC
In ΔATC   :  sin TAC =  ───   sodat / so that  TC = AT . sin TAC
AT
In ΔTAB  :  ∠ATB = 180° − (∠TAB + ∠TBA)
AT
AB
──────  =  ──────
sin TBA
sin ATB
AB . sin TBA
AT  =  ──────────
sin ATB
AB . sin z
=  ─────────────
sin (180° − (y + z))
. sin z
=  ────────
sin (y + z)
TC  =  AT . sin x
. sin z . sin x
=  ───────────
sin (y + z)
Vraag / Question 10
Antwoord / Answer 11
DA
In ΔDAB   :  tan DBA =  ───   sodat / so that  DA = AB . tan DBA
AB
In ΔABC laat die √-teken ons vermoed dat die cos-reël gebruik moet word.  /
The √-sign suggests the use of the cos rule.
∠ACB  =  180° − (∠CAB + ∠CBA)  =  180° − (x + y)
AB2  =  AC2  +  BC2  −  2 . AB . BC . cos C
=  d2  +  d2  −  2 . d . d . cos (180° − (x + y))
=  2d2  −  2 . d2 .  (− cos (x + y)
=  d2 . (2 + 2 . cos (x + y))
————————
AB  =  d  . √(2 + 2 . cos (x + y))
h  =  AB  .  tan z
————————
=  d  . √(2 + 2 . cos (x + y))  .  tan z
Vraag / Question 11
Antwoord / Answer 12
DC
In ΔBDC  :  tan DBC =  ───
BD
AD
AD
h
In ΔADC  :  tan ACB =  ───   en dus / so that  DC  =  ─────    =   ─────
DC
tan y
tan y
AD
AD
h
In ΔADB  :  tan ABD =  ───   en dus / so that  DB  =  ─────    =   ─────
DB
tan x
tan x
h
────
tan y
DC
tan DBC =  ────   =   ──────────
DB
h
────
tan x
h
tan x
=  ────  ×  ─────
tan y
h
tan x
=  ─────
tan y
Vraag / Question 12
Antwoord / Answer 13
13.1
In ΔABD  :  ∠BAD = 90° − x
In ΔAMC  :  ∠CAM = 90° − y
∠BAC  =  ∠BAD  −  ∠CAM
=  90° − x − 90° + y
=  y − x
13.2
∠CBA  =  x  −  z
In ΔABC  :  ∠ACB = 180° − (y − x + x − z)
=  180°  −  (y − z)
13.3
CB
AB
a sin (y − x)
In ΔABC  :  ───────   =   ───────   en dus / so that  CB  =  ──────────
sin CAB
sin ACB
sin (y − z)
Vraag / Question 13
Antwoord / Answer 14
KL
h
In ΔKML  :  tan KML =  ───    sodat / so that   ML =  ──────
ML
tan 2x
MN
ML
In ΔLMN  :  ───────────  =  ─────
sin (180° − 2x)
sin x
h
sin 2x .   ─────
tan 2x
sin 2x . h . cos 2x
MN  =  ─────────────   =   ────────────
sin x
sin x . sin 2x
. cos 2x
=  ────────
sin x
Vraag / Question 14
Antwoord / Answer 15
15.1
PQ
In ΔPQB  :  tan B = ────   sodat / so that  PQ = QB tan y   = k tan y
QB
PQ
PQ
In ΔPQC  :  tan C = ────   sodat / so that  CQ =  ────
CQ
tan x
k tan y
∴  CQ = ──────
tan x
k tan y
4,8 tan 32°
15.2
CQ = ──────   =   ───────   =  3,33 m
tan x
tan 42°
PQ
15.3
In ΔPQB  :  tan A = ────   sodat / so that  PQ = AQ tan x   = k tan x
AQ
Maar / But  tan A = tan B  sodat / so that  AQ = BQ
In ΔAQC  :  ∠AQC = 80°
AC2  =  AQ2  +  CQ2  −  2 . AQ . CQ . cos 80°
=  2 CQ2  −  2 . CQ2 . cos 80°
=  2 CQ2 (1 − cos 80°)
=  2 (3,33)2 (1 − cos 80°)
= 4,28 m
Vraag / Question 15
Antwoord / Answer 16
Oppervlakte van oorblywende metaal = oppervlakte van ABCD  −  oppervlakte van PQR  /
Area of remaining metal = area of ABCD  −  area of PQR
Oppervlakte van / Area of PQR = ½  × PQ  ×  PR  ×  sin P
Bereken dus die grootte van ∠P, of ∠Q of ∠R deur die cos-reël te gebruik.  /
Calculate the size of ∠P, or ∠Q or ∠R by using the cosine rule.
PQ2  +  PR2  −  QR2
cos P  =  ───────────────
2  ×  PQ  ×  PR
6,052  +  72  −  82
=  ───────────────
2  ×  6,05  ×  7
=  0,25504. . .
P  =  75,22°
Oppervlakte van oorblywende metaal = oppervlakte ABCD  −  oppervlakte PQR  /
Area of remaining metal = area of ABCD  −  area of PQR
=  AB  ×  CD  −  ½  ×  PQ  ×  PR  ×  sin P
=  15  ×  10  −  ½  ×  6,05  ×  7  ×  sin 75,22°
=  150  −  20,4743
=  129,53
Vraag / Question 16
  
Na bo Oefeninge - Graad 12 Oefeninge - Graad 10 Oefeninge - Graad 11 Tuisblad
  
To the top Exercises - Grade 12 Exercises - Grade 10 Exercises - Grade 11 Home page